Применение интегралов к решению прикладных задач (стр. 8 из 9)

В случае непрямолинейного движения и непостоянной силы станем определять положение точки M на кривой (K) длиной s дуги AM. Тогда

. Просуммируем, работа выразится криволинейным интегралом первого типа: . Пусть - угол между направлением элемента и осью x, тогда . Окончательно работа силового поля выразится криволинейным интегралом второго типа: .

Плоское установившееся движение несжимаемой жидкости.

При таком движении все частицы, лежащие на одной вертикали к некоторой плоскости, имеют одну и ту же скорость. Скорость

частицы жидкости зависит только от положения частицы, но не от времени.

Если обозначить угол, составленный вектором

с осью x, через , а проекции этого вектора на координатные оси – через и , то . Количество Q жидкости, протекающей через кривую (K) в определённую от неё сторону в единицу времени, запишется в виде криволинейного интеграла первого типа .

Так как

, то . Перейдём к криволинейному интегралу второго типа .

4. Поверхностные интегралы

4.1 Площадь поверхности, заданной явным уравнением

Пусть поверхность

задана явным уравнением , причём изменяются в квадрируемой области на плоскости , и в этой области имеет непрерывные частные производные и . Разложим область с помощью сетки кривых на элементы . Рассмотрим .Если построить на контуре этой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси , то она вырежет на поверхности элемент . Элемент соответствует элементу . Точка соответствует точке , где . Проведём в точке касательную плоскость. Упомянутая цилиндрическая поверхность на этой плоскости вырежет элементарную фигуру , площадь которой служит приближением к площади элемента . Сумму можно считать приближением к площади поверхности . Площадь при стремящихся к нулю диаметров всех элементов или . Отсюда , где - угол нормали к поверхности с осью . Если удовлетворяет точке , то для площадей плоских фигур и имеем , откуда . Получаем интегральную сумму . Исходя из того, что , площадь .

4.2 Площадь поверхности в общем случае

Рассмотрим простую гладкую поверхность

, заданную параметрически. Для каждой точки поверхности явное уравнение заменяется явным же уравнением или . Отсюда следует, что вся поверхность разлагается на конечное число кусков . Вычислим площадь . . .

Замечание: Перейдём от параметров

с областью изменения к параметрам с областью изменения по формулам , . Тогда поверхность выразится новыми уравнениями , , . Обозначим , , - так называемые гауссовы коэффициенты. Так как , то .

Выражение

называют элементом площади в криволинейных координатах.

Пример: Найти площадь частей сферической поверхности

, вырезанных из неё цилиндром .

Решение.

, , , тогда , причём областью интегрирования служит круг, ограниченный окружностью .