5.Матрицы. Прямоугольная таблица чисел, записанная в виде
называется матрицей.
Коротко матрицу обозначают так:
где
5
Некоторые свойства матриц:
1. сумма С = А + В двух матриц А и В одного размера m
С = (с
сумма матриц разных размеров не определяется.
2.Произведение С = λА матрицы А и элемента λ
3.Произведение С = АВ матрицы А размера m
Произведение матриц в общем случае некоммутативно, т.е АВ≠ВА.
Транспонированная матрица
Совокупность элементов
Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е.
Напомним, что
АЕ = А и ЕА = А.
Матрица называется ортогональной, если строки образуют ортогональную систему векторов и норма каждой строки равна единице.
Квадратная матрица называется симметрической, если
6.Определители. Всякое расположение чисел 1, 2, …, n в некотором определённом порядке называется перестановкой из n чисел.
Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию, если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j.
Перестановку называют чётной, если её символы составляют чётное число инверсий, и нечётной – в противоположном случае.
Всякое взаимно однозначное отображение А множества первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n-й степени, причём, очевидно, всякая подстановка А может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой.
6
Подстановка А будет чётной, если общее число инверсий в двух строках любой её записи чётно, и нечётной – в противоположном случае.
Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причём член берётся со знаком плюс, если его индексы составляют чётную подстановку и со знаком минус в противоположном случае.
Для определителя квадратной матрицы А используется обозначение |A| или detA.
Свойства определителя:
1.определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной, т.е.
det(AT) = detA;
2.если все элементы строки умножить на
3. если каждый элемент некоторой строки определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все строки, кроме данной прежние, а в данной строке в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые;
3’. аналогичные свойства для столбцов;
4. если две какие–либо строки (столбца) матрицы поменять местами, то определитель матрицы умножиться на (-1);
5. определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0;
6. определитель не изменится, если к какой–либо его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на
Алгебраическое дополнение
где
7
Определитель можно разложить по любой строке и любому столбцу.
Разложение по i–й строке имеет вид:
7.Обратная матрица. Матрица А, у которой detA≠0, называется невырожденной.
Обратная матрица В = А-1 (по отношению к матрице А) – такая матрица, что АВ = ВА = Е.
Обратная матрица существует в том и только в том случае, когда матрица А невырожденная.
В этом случае
где
Если матрица А – ортогональная и симметрическая, то
А-1 = А.
8.Конечные разности. Конечные разности вектора
Вместо
Конечную разность
Справедлива формула
8
§ 2. Пространство N – периодических комплекснозначных векторов
Зафиксируем натуральное число N. Определяем пространство следующим образом
Введём в
В результате получим линейное комплексное пространство.
Введём символ
Лемма 1. Для
Доказательство. Так как в обеих частях (1) стоят N–периодические векторы, проверим равенство при