Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) (стр. 4 из 8)

Теорема 1. Имеет место формула обращения

(5)

Доказательство. Из формул (1), (4) и из формулы (1) предыдущего параграфа имеем

Теорема доказана.

14

Формулу (5) можно записать компактно так:

Введём обозначение

. Тогда формула (5) для ДПФ примет вид

(6)

Из равенства (6) видно, что вектор

разлагается по системе векторов

(7)

Коэффициентами в этом разложении являются компоненты спектра.

Лемма 2. Для любого целого k имеем

.

Доказательство. Действительно,

Лемма доказана.

Лемма 3. Система векторов (7) ортогональна. При этом

при всех

Доказательство. Имеем при

Отсюда очевидным образом следует требуемое.

15

Лемма 4. Система

линейно независима.

Доказательство. Чтобы показать линейную независимость данной системы, надо проверить равенство

тогда и только тогда, когда

Возьмём скалярное произведение и покажем справедливость данного равенства:

Т.к. векторы ортогональные, то

при

Нетрудно видеть, что

. Так как , то

Лемма доказана.

Установлено, что система (7) образует ортогональный базис в пространстве

Этот базис называется экспоненциальным.

Возьмём вектор

Тогда

- разложение вектора в базисе (7).

Умножив обе части данного разложения на

, получим

Учитывая тот факт, что

, приходим к равенству

(9)

Таким образом, формула (9) определяет коэффициенты Фурье вектора

16

Рассмотрим матрицу, элементами которой является компоненты векторов

:

,

Это матрица ДПФ. Очевидно, у этой матрицы строки ортогональны.

Введем некоторые свойства данной матрицы и получим матрицу обратного преобразования.

Лемма 5. Матрица

будет ортогональной.

Доказательство. Для того чтобы доказать факт надо показать:

1.строки данной матрицы образуют ортогональную систему векторов;

2.норма каждой строки равна единице.

Покажем сначала первое, т.е.

Далее

Лемма доказана.

17

Лемма 6. Матрица

является симметрической.

Доказательство. Чтобы доказать данную лемму, покажем справедливость равенства

Итак,

,

Лемма доказана.

Раз матрица

- ортогональная и симметрическая, то

Тогда

т.к.

Итак,

- матрица обратного преобразования Фурье.

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.

Лемма 7. Если имеем действительное евклидовое пространство, то

. (10)

В случае комплексного пространства имеем

. (11)

Доказательство.

Пусть

- матрица преобразования Фурье.

Тогда

.

18

Рассмотрим скалярное произведение

- левая часть нашего

равенства.

Учитывая, что

рассмотрим

- правая часть

нашего равенства.

Правая часть равенства совпала с левой частью, значит, (11) - верное равенство.

Лемма доказана.

Далее рассмотрим свойства ДПФ.

Теорема 2. Пусть

Тогда

(12)

Доказательство. Учитывая формулу (12) и тот факт, что матрица

является симметрической и ортогональной, получим

Что и требовалось доказать.

Следствие. В условиях теоремы 2 справедливо равенство

(13)

Формула (13) называется равенством Парсеваля, а формула (12) – обобщённым равенством Парсеваля.

19

§ 4. Задача восстановления координат

Ставится задача следующим образом. Пусть

где и

Также считается известными и

Требуется узнать, можно ли найти

при условии, что

В приводимой ниже теореме показывается, что при некотором предположении координаты вектора

полностью восстанавливаются.

Теорема. Если спектр

вектора равен нулю на некотором множестве , то

(1)

Доказательство. По формуле обращения для ДПФ, учитывая условию теоремы, приходим к следующему равенству

(2)

Зафиксируем

и пусть Продолжив периодически с периодом на , получим вектор , принадлежащий Вычислим его ДПФ: