Центральная Предельная Теорема и её приложения. Решение Определенного интеграла методом Монте-Карло (стр. 2 из 3)

т.е функция распределения есть некоторый интеграл.

Определение2. Функция f(x) называется плотностью распределения непрерывной случайной величины.

f(x) обладает свойствами:

f(x)≥0;

Определение3.Если функция распределения имеет производную, то производная называется плотностью распределения.

Определение3.Случайная величина называется непрерывной, если для неё определена функция f(x) , обладающая свойствами 1-3 и связанная с функцией распределения формулой

(1)

Основные непрерывные распределения

Определение. Случайная величина ξ называется равномерно распределено в интервале (a, b), если её плотность распределения постоянная, т.е. f(x) = с.

Из 3 – го свойства плотности имеем:

Итак,

Изобразим график плотности распределении.

(Рис.1.)График функции плотности распределения

Функция распределения согласно (1) и учитывая свойства будет:

Изобразим график функции распределения.

Нормальное распределение

Нормальное распределение – это наиболее важное распределение, которое встречается в почти и везде.

Любая случайная величина, которая формируется, как результат суммарного воздействия многих других случайных величин каждое из которых вносит вклад распределена нормально.

Определение. Говорят, что ξ имеет нормальное распределение с параметрами а и σ , где а Î R, σ > 0, и пишут ξ Î N(а, σ) если ξ имеет следующую плотность распределения:

для любого x Î R.

Функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде:

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Закон больших чисел Чебышева. Имеет место, следующее утверждение. Пусть

последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т.е. для любого i. Тогда, каково бы нибыло, ε>0 справедливо соотношение

Доказательство:

Обозначим через

величину , т.е. среднюю арифметическую n случайных величин. Случайная величина имеет математическое ожидание

и дисперсию

(здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и дисперсии). Применяя к случайной величине

вторую лемму Чебышева, найдем, что

т.е.

так как

при любом i, и следовательно,

Учитывая, что вероятность любого события не превосходит единицы, получим

Переходя к пределу при

, имеем

Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем. В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.

Неравенство Чебышева.

Пусть ξ случайная величина с Mξ и Дξ. Тогда для этой случайной величины выполняется неравенство

- Неравенство Чебышева.

Другим видом неравенства Чебышева является

В качестве ε берем 3σ = 3

. Получаем: - правило “Трех Сигм”.

Центральная предельная теорема

Центральная Предельная Теорема: Пусть последовательность независимых, одинаково распределенных с.в. с конечной дисперсией. Обозначим и . Тогда

где

-- функция распределения стандартного нормального закона.

Замечание 1. Обозначим

. Тогда , . Следовательно, утверждение ЦПТ может быть записано в виде

ЦПТ имеет огромное значение для применений теории вероятностей в естествознании и технике. Ее действие проявляется там, где наблюдаемый процесс подвержен влиянию большого числа независимых случайных факторов, каждый из которых лишь ничтожно мало изменяет течение процесса. Наблюдатель, следящий за состоянием процесса в целом, наблюдает лишь суммарное действие этих факторов. Эта схема поясняет также исключительное место, которое нормальное распределение занимает среди других вероятностных распределений.

Моделирование случайных величин

Определение. Получение значений случайной величины заданными законами распределения называется моделированием случайной величины.

Стандартный метод моделирования дискретной случайной величины.

Допустим имеется дискретная случайная величина заданная таблицей :

ξ	X1	X2	...	Xm	…
P1	P2	…	Pm	…

Σpi = 1;

Стандартный метод моделирования такой случайной дискретной величины основан на следующем соотношении:

(*)

где α равномерная на [0, 1] случайная величина. Pm соответствует хm.На этом и основывается стандартный метод. Из соотношения (*) вытекает следующий простой алгоритм моделирования дискретной случайной величины, который называется стандартным алгоритмом.

Берем случайную величину α, равномерную в [0, 1] , например, с помощью стандартной процедуры Random.

Надо определить промежуток или интервал в который попадает случайная величина α.Пусть номер этого промежутка или интервала равно m. Если этот номер равно m, то ξ пнимет значение хm

m=0, s=0;

α=random;

m=m+1; s=s+pm

Если α<s то переходим на (f)

Иначе на (с)

x=xm

Метод Монте-Карло для вычисления определенных интегралов

Метод Монте-Карло занимает особое положение среди методов вычисления определенных интегралов по двум причинам. Во-первых, это единственный метод, позволяющий вычислять интегралы высокой кратности. И во-вторых, это метод, который дает лишь вероятностные гарантии степени точности вычисления интегралов.

Метод Монте-Карло - это статистический метод, его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации и массового обслуживания, при исследовании сложных систем (экономических, биологических и т. д.).

Сущность метода состоит в том, что в решаемую задачу вводят случайную величину ξ, изменяющуюся по какому-то закону p(ξ). Как правило, случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина

стала математическим ожиданием от случайной величины.