Центральная Предельная Теорема и её приложения. Решение Определенного интеграла методом Монте-Карло (стр. 1 из 3)

Введение.

Центральная предельная теорема (ЦПТ) имеет огромное значение для применений теории вероятностей в естествознании и технике. Ее действие проявляется там, где наблюдаемый процесс подвержен влиянию большого числа независимых случайных факторов, каждый из которых лишь ничтожно мало изменяет течение процесса. Наблюдатель, следящий за состоянием процесса в целом, наблюдает лишь суммарное действие этих факторов. Эта схема поясняет также исключительное место, которое нормальное распределение занимает среди других вероятностных распределений.

Случайные величины

Случайной одномерной величиной, или просто случайной величиной, называют любую числовую функцию, определенную на пространстве элементарных событий .

Пример. Рассмотрим пространство элементарных событий, которое получается в результате независимых бросаний двух монет. В этом примере пространство элементарных событий состоит из четырех элементарных событий, которым сопоставляется вероятность 1/4. Определим теперь на этом пространстве случайную величину, равную числу гербов, появившихся при бросании двух монет. Очевидно, что значения случайной величины есть 0, 1, 2, и случайная величина принимает эти значения с вероятностями 0, 25, 0, 5, 0, 25, соответственно.

Так как случайная одномерная величина

представляет собой числовую функцию на пространстве элементарных событии, то любая числовая функция от случайной величины в соответствии с определением также является случайной величиной.

Функция распределения вероятностей случайной величины

Определение. Функцией распределения вероятностей, или просто функцией распределения (иногда применяют термин кумулятивная функция распределения) случайной величины

, называется функция F(х), равная для любого значения x вероятности события:

P(ξ<x)=F(x);

Из определения легко вывести свойства функции распределения:

На рис. 1 приведен график функции распределения вероятностей случайной величины из примера.

Рис. 1. Функция распределения F(x) случайной величины из первого примера.

Случайные дискретные величины

Различаются два типа случайных величин: дискретные, принимающие конечное или счетное число значений, и непрерывные, принимающие все значения на некотором непрерывном промежутке числовой оси.

Определение. Случайной дискретной величиной

называется случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений х0, х1, x2, ... .

Обозначим множество всех возможных значений, которые принимает дискретная случайная величина

, через x0, х1, х2, ..., а вероятности, с которыми принимает эти значения, - через р0, р1, р2, ... . Тогда Σpi = 1.

Распределение случайной дискретной величины будет полностью описано, если указать для любого i вероятность рi того, что случайная величина принимает значение xi, т.е.

Функция распределения F(x) дискретной случайной величины при этом оказывается равной

Таким образом, F(x) - ступенчатая функция, равная постоянной на любом интервале, не содержащем точек xi, и имеющая в каждой точке xi скачок вверх на величину pi.

Таким образом, чтобы задать дискретную случайную величину

, достаточно описать множество всех возможных значений случайной величины x0, х1, х2, ..., а также указать числа рi такие, что

Наиболее распространенными формами представления дискретных случайных величин являются табличная

и графическая (рис. 2-5), отображающие зависимость pi(xi)=p(ξ=xi) вероятности рi от возможного значения случайной величины xi. Функция pi(xi), выражающая эту зависимость, называется распределением вероятностей дискретной случайной величины.

Наиболее известными примерами дискретных случайных величин являются: случайная величина, распределенная по дискретному равномерному закону, биномиального распределенная случайная величина, случайная величина, распределенная по закону Бернулли, случайная величина, распределенная по закону Пуассона.

Рис.2. Распределение вероятностей дискретной

случайной величины.

Случайная величина, принимающая n (n>1) значений х1, х2, ..., xn с вероятностями рi=1/n, называется случайной величиной, распределенной по дискретному равномерному закону. На рис.3 рассматриваемая случайная величина (для n=6) представлена в графической форме. Случайная величина, распределенная по дискретному равномерному закону, является моделью событий с равновероятными исходами (см. пример с бросанием игральной кости).

Рис.3. Распределение вероятностей дискретного равномерного распределения (n=6).

Случайная величина, принимающая два значения: 0 и 1 с вероятностями q=1-р и р, соответственно (0<р<1), называется случайной величиной, распределенной по закону Бернулли с параметром p. Случайная величина, распределенная по закону Бернулли - это удачная модель для описания многих конкретных испытаний, имеющих два исхода (наиболее известный пример - бросание правильной монеты; здесь p=q=1/2), в том числе и в биологии: присутствие или отсутствие некоторого признака: пол родившегося цыпленка, цвет цветка и т. д.

Случайная величина

, принимающая n+1 значение 0, 1, 2, ..., n, с вероятностями

где i=0, 1, 2, ..., n, q=1-р, 0<p<1, называется биноминально распределенной случайной величиной, а n и р - параметрами распределения. На рис.4 случайная биномиальная величина представлена в графической форме.

Рис.4. Распределение вероятностей биномиально

распределенной случайной величины для n=10 и p=0.2.

Заметим также, что случайная величина, распределенная по закону Бернулли, является частным случаем биномиальной случайной величины для n=1.

Случайная величина, принимающая счетное множество значений 0, 1, 2, ..., с вероятностями

где i=0, 1, …, λ>0 называется случайной величиной, распределенной по закону Пуассона. Величина λ

называется параметром распределения Пуассона.

На рис. 5 случайная величина, распределенная по закону Пуассона, представлена в графической форме. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, служит моделью эксперимента, связанного с определением численности бактерий в единице объема, или численности животных на единицу площади, и других подобных экспериментов.

Рис. 5. Распределение вероятностей Пуассоновской случайной величины с λ=5.

Распределение Пуассона иногда называют "распределением вероятностей редких событий" поскольку оно хорошо описывает ситуацию случайно и независимо друг от друга появляющихся событий в течение заданного периода времени (регистрации радиоактивных частиц в счетчике Гейгера, телефонные звонки, появление посетителей в малопосещаемом магазине и т.п.). Существенна именно независимость событий, а их "редкость" требуется лишь для того, чтобы можно было пренебречь вероятностью одновременного появления двух событий. Если параметр

относится к единице времени, то периоду времени длительностью t будет соответствовать пуассоновское распределение с параметром . Соответственно, вероятность того, что в течение периода t не произойдет ни одного события равна

Если, например, появление события влечет гибель организма, то можно

интерпретировать как вероятность того, что организм доживет до возраста t. Параметр λ в этом случае называют интенсивностью смертности, или просто смертностью. Из приведенной формулы видно, что чем больше λ , тем меньше вероятность дожить до заданного возраста t и, конечно, чем больше этот заданный возраст, тем меньше вероятность до него дожить (типичный пример - время жизни стакана в столовой).

Непрерывные случайные величины.

Определение 1. Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения F(x) непрерывна.