Схема Бернулли. Цепи Маркова (стр. 3 из 11)

Можно получить

еще проще: событие означает в точности, что в схеме Бернулли первые испытаний завершились неудачами, т.е. его вероятность равна . Возвращаясь к (1), получим

Теорема 3 доказана.

1.2.2 Независимые испытания с несколькими исходами

Рассмотрим схему независимых испытаний уже не с двумя, а с большим количеством возможных результатов в каждом испытании.

Пример 1. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятность того, что выпадет ровно десять троек и три единицы.

Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение любой другой грани. Поэтому воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удаcтся.

Попробуем вывести подходящую формулу. Пусть в одном испытании возможны

исходов: , и -й исход в одном испытании случается с вероятностью , где .

Обозначим через

вероятность того, что в независимых испытаниях первый исход случится раз, второй исход - раз, и т.д., наконец, -й исход - раз.

Теорема 4 (Обобщенная формула Бернулли). Для любого

и любых неотрицательных целых чисел сумма которых равна верна формула

Доказательство. Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению

единиц, двоек и т.д.:

Это результат

экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей . Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел на местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на местах единиц, двоек, и т.д. Это число равно

Теперь мы можем вернуться к примеру 1 и выписать ответ: вероятность получить десять троек, три единицы и еще два других очка равна

так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по

, а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) равна

1.2.3 Теорема Пуассона для схемы Бернулли

Предположим, нам нужна вероятность получить не менее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха

. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений, вычислить которые довольно сложно:

Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности иметь

успехов в большом числе испытаний Бернулли с маленькой вероятностью успеха . Термин "большое число" должен означать . Если при этом остается неизменной, то вероятность получить любое заданное число успехов уменьшается до нуля. Необходимо чтобы вероятность успеха уменьшалась одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (см. определение схемы Бернулли). Поэтому нам придется рассмотреть так называемую "схему серий": если испытание одно, то вероятность успеха в нем равна если испытаний два, то вероятность успеха в каждом равна и т.д. Если испытаний то в каждом из них вероятность успеха равна . Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний. Обозначим через число успехов в -й серии испытаний.

Теорема 5 (теорема Пуассона). Пусть

и так, что Тогда для любого вероятность получить успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха стремится к величине

Доказательство. Положим

. По условию . Подставим в формулу Бернулли:

(2)

В соотношении (2) мы воспользовались тем, что

и замечательным пределом . Докажем последнее свойство:

Определение 4. Набор чисел

называется распределением Пуассона с параметром .

По теореме 17 можно приближенно посчитать вероятность получить не менее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха

с вычисления которой мы начали. Поскольку "велико", а "мало", то, взяв можно записать приближенное равенство

(3)

Осталось решить, а достаточно ли

велико, а мало, чтобы заменить точную вероятность на ее приближенное значение. Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими вероятностями.