Схема Бернулли. Цепи Маркова (стр. 4 из 11)
Следующую очень полезную теорему мы, исключительно из экономии времени, доказывать не станем.
Теорема 6 (уточненная теорема Пуассона). Пусть
- произвольное множество целых неотрицательных чисел, 
- число успехов в 
испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха 
. Cправедливо неравенство 
Таким образом, теорема 6 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли
велико, а 
мало, руководствуясь полученной величиной погрешности. Какова же погрешность в формуле (3)? Взяв 
имеем 
Таким образом, можно утверждать, что искомая вероятность заключена в границах
.Пример 2. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.
Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, 
. По формуле Бернулли требуемая вероятность равна 
.Пример 3. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.
Решение. Вероятность рождения девочки
, тогда 
.Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:
, 
, 
, 
.Следовательно, искомая вероятность
.Пример 4. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.
Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность
, тогда 
. Отсюда по формуле Бернулли находим 
.Пример 5. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.
Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:
Пример 6. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет k раз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n < k), если в каждом из них
.Решение. Событие В – ровно n испытаний до k-го появления события А – есть произведение двух следующий событий:
D – в n-ом испытании А произошло;
С – в первых (n–1)-ом испытаниях А появилось (к-1) раз.
Теорема умножения и формула Бернулли дают требуемую вероятность:
цепь марков бернулли информатика
Глава 2. Цепи Маркова
2.1 Биография Маркова
Марков Андрей Андреевич. 2 (14) июня 1856—20 июля 1922 — русский математик, специалист по теории чисел, теории вероятностей и математическому анализу.
С 1886 — адъюнкт, с 1890 — экстраординарный, а с 1896 — ординарный академик Императорской Санкт-Петербургской Академии Наук.
Андрей Марков родился в семье мелкого чиновника в Рязанской губернии. В 1878 окончил Петербургский университет со степенью кандидата и в том же году получил золотую медаль за работу "Об интегрировании дифференциальных уравнений при помощи непрерывных дробей". С 1880 — приват-доцент, с 1886 — профессор, а с 1905 — заслуженный профессор Петербургского университета.
Научные исследования Марков тесно примыкают по своей тематике к работам старших представителей Петербургской математической школы — П.Л. Чебышева, Е.И. Золотарева и А.Н. Коркина. Блестящих результатов в области теории чисел Марков достиг в магистерской диссертации "О бинарных квадратичных формах положительного определителя" (1880). Результаты, полученные им в этой работе, послужили основой дальнейших исследований в этой области в СССР и за рубежом. В 1905 вышел в отставку. В этом же году ему присвоено звание заслуженного профессора Петербургского университета. Написал около 70 работ по теории чисел, теории приближения функций, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, в т. ч. и 2 классических произведения — "Исчисление конечных разностей" и "Исчисление вероятностей". Труды Маркова по теории чисел касаются главным образом теории неопределенных квадратичных форм. Почти все они посвящены нахождению экстремальных квадратичных форм данного определителя.
Марков внес важный вклад в своеобразную область геометрии чисел, которая в настоящее время интенсивно развивается. Обогатил важными открытиями и методами также теорию вероятностей: развил метод моментов П.Л. Чебышева настолько, что стало возможным доказательство центральной предельной теоремы, существенно расширил сферу применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы, распространив их не только на независимые, но и на зависимые опыты.
В цикле работ, опубликованных в 1906-1912, заложил основы одной из общих схем естественных процессов, которые можно изучать методами математического анализа. Впоследствии эта схема была названа цепями Маркова и привела к развитию нового раздела теории вероятностей — теории случайных процессов, которые играют важную роль в современной науке. В качестве примера случайных процессов можно назвать диффузию газов, химические реакции, лавинные процессы и т. д. Важное место в творчестве Маркова занимают вопросы математической статистики. Он вывел принцип, эквивалентный понятиям несмещенных и эффективных статистик, которые получили теперь широкое применение.
В математическом анализе Марков развил теорию моментов и теорию приближения функций, а также аналитическую теорию непрерывных дробей. Ученый широко использовал непрерывные дроби для приближенных вычислений в теории конечных разностей, интерполировании и т. д. Актуальность всех этих вопросов особенно возросла в связи с развитием вычислительной техники. Марков пользовался большим авторитетом среди студентов.
Он был материалистом и убежденным атеистом, бескомпромиссным борцом против религии. 12.02.1912 Марков подал в Синод прошение об отлучении его от церкви. Марков протестовал против решения царского правительства, отказывавшегося утвердить избрание А.М. Горького почетным членом Петербургской Академии Наук. АН СССР учредила премию им. А.А. Маркова за лучшие работы по математике. Именем Маркова назван кратер краевой зоны Луны.
Свой последний мемуар он представил Академии наук всего лишь за несколько месяцев до смерти. Тяжелый недуг свалил его в постель, и 20 июля 1922 г. он умер.
2.2 Цепи Маркова
Определение 5. Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским, если в любой момент времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в текущий момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.
Определение 6. Цепью Маркова называется последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из k несовместных событий Ai из полной группы. При этом условная вероятность pij(s) того, что в s –ом испытании наступит событие Aj при условии, что в (s – 1) – ом испытании наступило событие Ai, не зависит от результатов предшествующих испытаний.
Независимые испытания являются частным случаем цепи Маркова. События называются состояниями системы, а испытания – изменениями состояний системы. По характеру изменений состояний цепи Маркова можно разделить на две группы.
Определение 7. Цепью Маркова с дискретным временем называется цепь, изменение состояний которой происходит в определенные фиксированные моменты времени. Цепью Маркова с непрерывным временем называется цепь, изменение состояний которой возможно в любые случайные моменты времени.