Аппроксимация функции методом наименьших квадратов (стр. 2 из 2)
Алгоритм решения системы линейных уравнений подразделяется на прямые и итерационные. На практике никакой метод не может быть бесконечным. Для получения точного решения итерационные методы требуют бесконечного числа арифметических операций. практически это число приходиться брать конечным и поэтому решение в принципе имеет некоторую ошибку, даже если пренебречь ошибками округлений, сопровождающими большинство вычислений. Что же касается прямых методов, то они даже при конечном числе операций могут в принципе дать точное решение, если оно существует.
Прямые и конечные методы позволяют найти решение системы уравнений за конечное число шагов. Это решение будет точным, если все промежутки вычисления проводятся с ограниченной точностью.
2.7 Методика вычисления обратной матрицы
Один из методов решения системы линейных уравнений (4), записываем в матричной форме А·Х=В, связан с использованием обратной матрицы А-1. В этом случае решение системы уравнений получается в виде
Х=А-1·В,
где А-1 –матрица, определяемая следующим образом.
Пусть А –квадратная матрица размером n х n с ненулевым определителем detA≠0. Тогда существует обратная матрица R=A-1, определяемая условием A·R=E,
где Е –единичная матрица, все элементы главной диагонали которой равны I, а элементы вне этой диагонали -0, Е=[E1,..., En], где Еi –вектор-столбец. Матрица К –квадратная матрица размером n х n.
где Rj –вектор-столбец.
Рассмотрим ее первый столбец R=( r11, r21,…, rn1)T, где Т –означает транспонирование. Нетрудно проверить, что произведение A·R равно первому столбцу E1=(1, 0, …, 0)Т единичной матрицы Е, т.е. вектор R1 можно рассмотреть как решение системы линейных уравнений A·R1=E1. Аналогично m –й столбец матрицы R , Rm, 1≤ m ≤ n, представляет собой решение уравнения A·Rm=Em, где Em=(0, …, 1, 0)Tm –й столбец единичной матрицы Е.
Таким образом, обратная матрица R представляет собой набор из решений n систем линейных уравнений
A·Rm=Em , 1≤ m ≤ n.
Для решения этих систем можно применять любые методы, разработанные для решения алгебраических уравнений. Однако метод Гаусса дает возможность решать все эти n систем одновременно, а независимо друг от друга. Действительно, все эти системы уравнений отличаются только правой частью, а все преобразования, которые проводятся в процессе прямого хода метода Гаусса, полностью определяются элементами матрицы коэффициентов (матрицы А). Следовательно, в схемах алгоритмов изменению подлежат только блоки, связанные с преобразованием вектора В. В нашем случае одновременно будут преобразовываться n векторов Em, 1≤ m ≤ n. Результатом решения также будет не один вектор, а n векторов Rm, 1≤ m ≤ n.
3. Ручной счет
3.1 Исходные данные
| Xi | 0,3 | 0,5 | 0,7 | 0,9 | 1,1 |
| Yi | 1,2 | 0,7 | 0,3 | -0,3 | -1,4 |
Метод MINU
3.2 Система нормальных уравнений
3.3 Решение систем методом обратной матрицы
аппроксимация квадрат функция линейный уравнение
5 3,5 2,6 0,5 5 3,5 2,6 0,5
3,5 2,85 2,43 -0,89 0 0,4 0,61 -1,24
2,56 2,43 2,44 -1,86 0 0,638 1,109 -2,116
5 3,5 2,6 0,5
0 0,4 0,61 -1,24
0 0 0,136 -0,138
Результаты расчета:
С1=1,71; С2=-1,552; С3=-1,015;
Аппроксимирующая функция:
4. Текст программы
ProgramApprF;
Uses Crt;
const n=3;
type
mass=array[1..5]of real;
mass1=array[1..3,1..3] of real;
mass2=array[1..3] of real;
var
X,Y,E,y1,delta : mass;
A: mass1;
B,x1: mass2;
big,r,sum,temp,maxD,Q:real;
i,j,k,l,num : byte;
Procedure VVOD(var E: mass);
Begin
For i:=1 to 5 do
read(E[i]);
writeln;
End;
Function FI( i ,k : integer): real;
Begin
if i=1 then FI:=1;
if i=2 then FI:=Sin(x[k]);
if i=3 then FI:=Cos(x[k]);
End;
Procedure PEREST(i:integer;var a:mass1;var b:mass2);
begin
big:=0;
num:=0;
for l:= i to 3 do
if abs(a[l,i]) > big then
begin
big:=a[l,i]; writeln ( big:6:4);
num:=l;
end;
if big=0 then
writeln('Перестановкауравнений');
if num<>i then
for j:=i to 3 do
begin
temp:=a[i,j];
a[i,j]:=a[num,j];
a[num,j]:=temp;
end;
temp:=b[i];
b[i]:=b[num];
b[num]:=temp;
end;
Begin
writeln('__________________');
writeln('Введите значения Х');
VVOD(X) ;
writeln('__________________');
writeln('‚Введите значения Y');
VVOD(Y);
writeln('___________________');
For i:=1 to 3 do
For j:=1 to 3 do
begin
A[i,j]:=0;
For k:=1 to 5 do
begin A[i,j]:= A[i,j]+FI(i,k)*FI(j,k); write(a[i,j]:7:5); end;
end;
writeln('________________________');
writeln('МатрицаКоэффициентовAi,j');
writeln('__________________________');
For i:=1 to 3 do
begin
For j:=1 to 3 do
write (A[i,j]:5:2, ' ');
writeln;
end;
For i:=1 to 3 do
begin
B[i]:=0;
For j:=1 to 5 do
B[i]:=B[i]+Y[j]*FI(i,j);
end;
writeln;
readkey;
writeln('__________________________');
writeln(‘Матрица Коэффициентов Bi ');
writeln('_________________________');
For i:=1 to 3 do
write(B[i]:5:2, ' ');
writeln;
for i:=1 to 2 do
begin
PEREST(i,a,b);
for k:=i+1 to 3 do
begin
Q:=a[k,i]/a[i,i]; writeln('g=',Q);
a[k,i]:=0;
for j:=i+1 to 3 do
a[k,j]:=a[k,j]-Q*a[i,j]; writeln('a=',a[k,j]);
b[k]:=b[k]-Q*b[i]; writeln('b=',b[k]);
end;
end;
x1[n]:=b[n]/a[n,n];
write(x1[n]);
for i:=2 downto 1 do
begin
sum:=b[i];
for j:=i+1 to 3 do
sum:=sum-a[i,j]*x1[j];
x1[i]:=sum/a[i,i];
end;
writeln('__________________________');
writeln ('Значение коэффициентов ');
writeln('_________________________');
for i:=1 to 3 do
writeln( ' C',i,'=',x1[i]);
k:=1;
for i:=1 to 5 do
begin
y1[i]:= x1[k]*FI(k,i) + x1[k+1]*FI(k+1,i) + x1[k+2]*FI(k+2,i);
delta[i]:=abs (y[i]-y1[i]);
writeln;
writeln (y1[i]);
end;
for i:=1 to 3 do
write (x1[i]:7:3);
writeln;
maxD:=delta[1];
for i:=1 to 5 do
if delta[i]>maxD then maxD:=delta[1];
writeln ('max Delta= ', maxD:5:3);
End.
5. Результаты машинного расчета
С1=1,511; С2=-1,237; С3=-1,11;
Вывод
В процессе выполнения курсовой работы я практически освоил типовые вычислительные методы прикладной математики, совершенствовал навыки разработки алгоритмов и построения программ на языках высокого уровня. Получил навыки, являющиеся основой для использования вычислительных методов прикладной математики и техники программирования в процессе изучения всех последующих дисциплин при выполнении курсовых и дипломных проектов.