Аппроксимация функции методом наименьших квадратов (стр. 1 из 2)
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
Содержание
1. Цель работы
2. Методические указания
2.1 Методические рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов
2.2 Постановка задачи
2.3 Методика выбора аппроксимирующей функции
2.4 Общая методика решения
2.5 Методика решения нормальных уравнений
2.6 Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений
2.7 Методика вычисления обратной матрицы
3. Ручной счет
3.1 Исходные данные
3.2 Система нормальных уравнений
3.3 Решение систем методом обратной матрицы
4. Схема алгоритмов
5. Текст программы
6. Результаты машинного расчета
Вывод
1. Цель работы
Настоящая курсовая работа является завершающим разделом дисциплины «Вычислительная математика и программирование» и требует от студента в процессе ее выполнения решения следующих задач:
а) практического освоения типовых вычислительных методов прикладной информатики; б) совершенствования навыков разработки алгоритмов и построения программ на языке высокого уровня.
Практическое выполнение курсовой работы предполагает решение типовых инженерных задач обработки данных с использованием методов матричной алгебры, решения систем линейных алгебраических уравнений численного интегрирования. Навыки, приобретаемые в процессе выполнения курсовой работы, являются основой для использования вычислительных методов прикладной математики и техники программирования в процессе изучения всех последующих дисциплин при выполнении курсовых и дипломных проектов.
2. Методические указания
2.1 Методические рекомендации по аппроксимации методом наименьших квадратов
2.2 Постановка задачи
При изучении зависимостей между величинами важной задачей является приближенное представление (аппроксимация ) этих зависимостей с помощью известных функций или их комбинаций, подобранных надлежащим образом. Подход к такой задаче и конкретный метод её решения определяются выбором используемого критерия качества приближения и формой представления исходных данных.
2.3 Методика выбора аппроксимирующей функции
Аппроксимирующую функцию
выбирают из некоторого семейства функций, для которого задан вид функции, но остаются неопределенными (и подлежат определению) её параметры 
т.е. 
(1)
Определение аппроксимирующей функции φ разделяется на два основных этапа:
Подбор подходящего вида функции
;Нахождение ее параметров в соответствии с критерием МНК.
Подбор вида функции
представляет собой сложную задачу, решаемую методом проб и последовательных приближений. Исходные данные, представленные в графической форме (семейства точек или кривые), сопоставляется с семейством графиков ряда типовых функций, используемых обычно для целей аппроксимации. Некоторые типы функций , используемых в курсовой работе, приведены в таблице 1.Более подробные сведения о поведении функций, которые могут быть использованы в задачах аппроксимации, можно найти в справочной литературе. В большинстве заданий курсовой работы вид аппроксимирующей функции
задан.2.4 Общая методика решения
После того как выбран вид аппроксимирующей функции
(или эта функция задана) и, следовательно, определена функциональная зависимость (1), необходимо найти в соответствии с требованиями МНК значения параметров С1, С2, …, Сm. Как уже указывалось, параметры должны быть определены таком образом, чтобы значение критерия в каждой из рассматриваемых задач было наименьшим по сравнению с его значением при других возможных значениях параметров.Для решения задачи подставим выражение (1) в соответствующее из выражений и проведем необходимые операции суммирования или интегрирования (в зависимости от вида I). В результате величина I, именуемая в дальнейшем критерием аппроксимации, представляется функцией искомых параметров
(2)
Последующее сводиться к отысканию минимума этой функции переменных Сk; определение значений Сk=Ck*, к=1,m, соответствующих этому элементу I, и является целью решаемой задачи.
Типы функций Таблица 1
| Вид функции | Название функции |
| Y=C1+C2·x | Линейная |
| Y=C1+C2·x+C3·x2 | Квадратичная (параболическая) |
Y=  | Рациональная(полином n-й степени) |
Y=C1+C2·  | Обратно пропорциональная |
Y=C1+C2·  | Степенная дробно-рациональная |
Y=  | Дробно-рациональная(первой степени) |
| Y=C1+C2·XC3 | Степенная |
| Y=C1+C2·aC3·x | Показательная |
| Y=C1+C2·logax | Логарифмическая |
| Y=C1+C2·Xn (0<n<1) | Иррациональная, алгебраическая |
| Y=C1·sinx+C2cosx | Тригонометрические функции (и обратные к ним) |
Возможны следующие два подхода к решению этой задачи: использование известных условий минимума функции нескольких переменных или непосредственное отыскание точки минимума функции каким – либо из численных методов.
Для реализации первого из указанных подходов воспользуемся необходимым условием минимума функции (1) нескольких переменных, в соответствии с которыми в точке минимума должны быть равны нулю частные производные этой функции по всем ее аргументам
Полученные m равенств следует рассматривать как систему уравнений относительно искомых С1, С2,…, Сm. При произвольном виде функциональной зависимости (1) уравнения (3) оказывается нелинейным относительно величин Ckи их решение требует применение приближенных численных методов.
Использование равенства (3) дают, лишь необходимые, но недостаточные условия минимума (2). Поэтому требуется уточнить, обеспечивают ли найденные значения Ck* именно минимум функции
. В общем случае такое уточнение выходит за рамки данной курсовой работы, и предлагаемые для курсовой работы задания подобраны так, что найденное решение системы (3) отвечает именно минимуму I. Однако, поскольку величина I неотрицательна (как сумма квадратов) и нижняя её граница есть 0 (I=0), то, если существует решение системы (3) единственно, оно отвечает именно минимуму I.При представлении аппроксимирующей функции
общим выражением (1) соответствующие нормальным уравнениям (3) оказываются нелинейными относительно искомых Ск. их решение может быть сопряжено со значительными трудностями. В таких случаях предпочтительным являются непосредственный поиск минимума функции в области возможных значений ее аргументов Ск , не связанный с использованием соотношений (3). Общая идея подобного поиска сводиться к изменению значений аргументов Ск и вычислению на каждом шаге соответствующего значения функции I до минимального или достаточно близко к нему.2.5 Методика решения нормальных уравнений
Один из возможных способов минимизации критерия аппроксимации (2) предполагает решение системы нормальных уравнений (3). При выборе в качестве аппроксимирующей функции линейной функции искомых параметров нормальные уравнения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.
2.6 Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений
Систему n линейных уравнений общего вида:
(4)
(4) можно записать посредством матричных обозначений в следующем виде: А·Х=В,
;
; 
(5)квадратная матрица А называется матрицей системы, а вектора Х и В соответственно вектором-столбцом неизвестных систем и вектором-столбцом ее свободных членов.
В матричном виде исходную систему n линейных уравнений можно записать и так:
(6)
Решение системы линейных уравнений сводиться к отысканию значений элементов вектора-столбца (хi), называемых корнями системы. Чтобы эта система имела единственное решение, входящее в нее n уравнение должно быть линейно независимым. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя системы, т.е. Δ=detA≠0.