Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана (стр. 10 из 13)
(3*)Уравнение (3) будем называть уравнением поверхности класса КА в параметрической форме. Еще раз заметим, что уравнения (3) и (3*) взаимозаменяемы при рассмотрении общего случая.
4.2 Вывод уравнения поверхности класса КА по заданным кривым
и нормальному вектору порождающей плоскости
Выше, мы вывели уравнение квазицилиндрической поверхности в каноническом виде, предполагая, что нормальный вектор порождающей плоскости направлен по оси
.Однако, интересно бы было получить параметрическое (или общее уравнение) такой поверхности без такого допущения (т.е. в случае, когда вектор нормали порождающей плоскости направлен произвольно).
Для этого мы воспользуемся простым соображением. Чтобы воспользоваться каноническим уравнением поверхности в форме (3) нам надо повернуть поверхность так, чтобы нормальный вектор порождающей плоскости стал сонаправлен направляющему вектору оси
. 
Нам достаточно вывести матрицу такого поворота. Для этого поворот будем осуществлять в два этапа:
1. Поворот относительно оси
, так, чтобы проекция вектора 
на плоскость 
оказалась бы в плоскости 
.2. Поворот вокруг нового положения оси
(после операции 1) до совпадения нового положения оси 
с самим вектором 
.Рассмотрим плоскость
. 
Очевидно:
.Т.е. нам надо повернуть поверхность на угол
относительно оси . Однако, тут есть два важных момента:1) Если мы будем вращать в положительном направлении, то угол следует брать со знаком +, если в отрицательном, – со знаком минус. Таким образом, выражение для угла поворота относительно оси
примет вид: 
.2) Полученное в п. 1 выражение для угла поворота также не является точным, поскольку в случае
становиться некорректным.Очевидно, в этом случаем вектор лежит на оси
и вращать относительно ее поверхность не требуется. Решить проблему можно так: вместо 
подставить функцию: 
.Такую функцию легко записать аналитически:
Итак, мы получим выражение для угла поворота относительно оси
:
(4)После первого поворота, нам надо осуществить второй – относительно оси
(эта ось направлена «вглубь» рисунка. 
Откуда очевидно:
.Этот поворот нам придется делать либо в положительном, либо в отрицательном направлении, поэтому формула для второго угла поворота примет вид:
.Тут важно отметить, что первым поворотом мы всегда придем к картине, когда угол между направляющим вектором оси
и вектором (нового его положения) всегда будет лежать на отрезке 
(это происходит из-за правильного выбора знака угла первого поворота).Осталось отметить один неприятный частный случай, а именно, когда вектор
лежит на оси . В этом случае 
, а значит 
, что неверно, когда вектор направлен в отрицательном направлении оси (в этом случае, нам требуется осуществить поворот на угол 
или 
). Пользуясь приемом, примененным в пункте 1 мы уточним нашу формулу: 
(5)Дополнительных уточнений, тут, вероятно, уже не нужно.
Как известно, матрица поворота относительно оси
имеет вид: 
.Относительно оси
(в нашем случае, – нового ее положения): 
.Суммарно поворот описывается произведением этих матриц:
Подставлять значения углов в эту матрицу, – сущее безумие, поэтому просто поймем, как будут выглядеть уравнения для направляющих кривых квазилинейчатой поверхности при таком повороте.
Пусть
– первая кривая, 
– вторая кривая до описанного поворота. Очевидно, после поворота они преобразуются так: 
Для первой и второй кривой соответственно. Т.е.
, 
Запишем теперь каноническое уравнение в поверхности в параметрической форме.
Итак, если заданы две кривые
, , согласованные относительно плоскости с нормальным вектором 
, то параметрическое уравнение соответствующей поверхности определяется следующими соотношениями (6) и (7) 
(6)где
(7)Это кажущаяся сложность. В дальнейшем, для изучения внутренней геометрии поверхности мы будем пользоваться, как правило, каноническим ее заданием.
Мы можем рассмотреть другой подход к параметризации поверхностей класса КА.
А именно.
Теорема 4.1.Всякая поверхность класса КА является поверхностью Каталана. Обратное неверно: есть поверхности Каталана, не являющиеся поверхностями класса КА.
Доказательство
Первое утверждение теоремы – очевидно, в силу определения поверхности класса КА.
Для доказательства второго – достаточно привести пример.
Таким примером может служить прямой круговой цилиндр – плоскость параллелизма будет пересекать каждую из этих кривых, за исключением двух точек ровно по двум точкам.
Замечание 4.1.
Следует отметить, что поверхность Каталана всегда можно разбить на куски, каждый из которых будет представлять из себя поверхность класса КА.
Теорема 4.2. Поверхность класса КА является цилиндрической, тогда и только тогда, когда разности между радиус-векторами направляющих кривых при согласованных значениях параметров для каждой из них являются коллинеарными векторами.
Глава 5. Дифференциальная геометрия поверхностей класса КА
Определим основные характеристики поверхностей класса КА. Нам будет интересно, в частности, рассматривать различные понятия и свойства этих поверхностей в разрезе направляющих кривых, так, что мы будем использовать (3) форму записи уравнения поверхности.