Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана (стр. 11 из 13)

Сделаем предварительное замечание относительно обозначений. Для удобства записи и наглядности индексы, обозначающие принадлежность координатных функций к первой или ко второй кривой будут указывать в слева вверху относительно символа, в отличие от предыдущих глав.

Так как поверхности класса КА являются линейчатыми поверхностями, то чтобы выделить некоторые их особые, отличные от всех линейчатых поверхностей свойства, мы для начала рассчитаем некоторые характеристики линейчатых поверхностей.

5.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой

поверхности

Понятное дело, нас интересуют лишь коэффициенты, однозначно определяющие саму форму.

Определитель для краткости обозначим так (ибо непосредственное покоординатное вычисление не дает достаточно удобочитаемого результата).

1. Расчет

(8)

4. Расчет M.

. (9)

5. Расчет N.

(10)

Итак, мы рассчитали коэффициенты первой и второй квадратичных форм линейчатой поверхности. Сделаем некоторые замечания.

Замечание 5.1.

Из формулы (9) очевидно, что необходимое и достаточное условие того, что данная линейчатая поверхность является развертывающейся, может быть переписано в виде:

Замечание 5.2. О различных точках линейчатой поверхности.

Вычислим дискриминант второй квадратичной формы для линейчатой поверхности.

. (11)

В связи с этим, проведем классификацию точек линейчатой поверхности.

1. Так как

, то на линейчатой поверхности нет эллиптических точек.

2. Пусть

, т.е. вторая квадратичная форма поверхности является знакопеременной. Таким образом, в точке

, для которой это справедливо можно указать два неколлинеарных направления, обладающих следующими свойствами:

а) Для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма, вычисленная в точке

, обращается в нуль.

б) все остальные направления на поверхности в точке

разбиваются на два класса – для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма положительна, а для другого отрицательна.

Такие точки, как известно, называются гиперболическими.

В силу замечания 1, гиперболическими точками среди линейчатых поверхностей обладают только косые линейчатые поверхности (например, все точки архимедова геликоида – гиперболические).

3. Пусть

. В окрестности такой точки поверхность лежит по одну сторону от касательной плоскости. Такие точки называются параболическими.

Такими точками обладают развертывающиеся поверхности.

. Такие точки называют точками уплощения поверхности.

5.2 Первая квадратичная форма поверхности класса КА

Ограничимся вычислением лишь коэффициентов.

Вычислим определитель.

5.3 Вторая квадратичная форма поверхности класса КА

Т.е.

Мы могли бы и сразу воспользоваться результатами 3.1. Т.е. для всякой поверхности Каталана верно.

В нашем случае:

При расчете второй квадратичной формы мы не получим дополнительных улучшений.

Итак, окончательно зафиксируем результат. Производные функции для удобства будем обозначать далее штрихами.

Где

Глава 6. О программе визуализации и анализа поверхностей

6.1 Общие положения и возможности программы

Ввиду поставленной задачи, а также для наличия удобного инструмента исследования дифференциальной геометрии поверхностей была разработана компьютерная программа визуализации параметрически заданных поверхностей, кривых, кривых на поверхности.