Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана (стр. 2 из 13)

Поэтому

.

Откуда

Отсюда, дифференцируя, получим:

(7)

Это дает еще один способ расчета второй квадратичной формы.

([5],[6]) (8)

Отсюда же можно получить новые формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы. Впрочем, удобнее продифференцировать по

и по очевидные равенства

и .

Воспользовавшись соотношениями (4), получаем, что

(9)

Вторая квадратичная форма эффективна при выяснении графических свойств регулярной поверхности.

1.4 Классификация точек регулярной поверхности

Пусть

– регулярная поверхность и – ее параметрическое задание.

Выберем на поверхности

некоторую точку и рассмотрим плоскость , которая касается поверхности в этой точке.

Отклонение произвольной точки

поверхности от плоскости определим по формуле

(1)

В этой формуле

– единичный вектор нормали к поверхности в точке . Это отклонение, взятое по абсолютной величине, равно расстоянию от точки до плоскости . Отклонение положительно, если точка и конец вектора лежат по одну сторону от касательной плоскости, соответственно, оно отрицательно, если они лежат по разные стороны от касательной плоскости в точке .

Рассмотрим формулу (1).

Разность

допускает следующую интерпретацию

(2)

Где

, при .

Умножим обе части равенства (2) скалярно на вектор

и положив

, .

Получим, что

(3)

Разумеется, вдумчивый (или хотя бы немного читающий эти выкладки) читатель поймет, что коэффициенты

,

,

указанные в формуле (3) вычислены в точке

, в окрестности которой мы и рассматриваем исходную поверхность .

Из курса линейной алгебры известно, что свойства квадратичной формы во многом определяются ее дискриминантом. А скорее даже знаком квадратичной формы.

Вычислим дискриминант второй квадратичной формы в точке

.

Рассмотрим все возможные случаи.([7],[8],[9],[10],[11])

Случай 1.

Т.е. вторая квадратичная форма поверхности в заданной точке является знакоопределенной.

Зафиксируем в точке

некоторое направление на поверхности. Пускай .

Тогда любое другое направление на поверхности в точке

можно задавать при помощи угла , который оно образует с уже выбранным направлением.

Положим

,

Тогда

(4)

Нетрудно показать, что

,

где постоянная

а в силу условия

положительна.

Таким образом неравенство

выполняется независимо от выбора угла

.

Так как порядок стремления к нулю при

второго слагаемого в правой части формулы (3) выше двух, то из последней оценки можно сделать следующий вывод.

Отклонение

сохраняет знак (совпадающий со знаком второй квадратичной формы ) для всех достаточно малых значений независимо от выбора направления на поверхности.

Это означает, что все точки поверхности

, достаточно близкие к точке , располагаются по одну сторону от касательной плоскости поверхности в этой точке. Такая точка поверхности называется эллиптической точкой.

Например, все точки сфер – эллиптические.([6],[8])

Случай 2.

.

Вторая квадратичная форма является знакопеременной.

Покажем, что в этом случае, в точке

можно указать два неколлинеарных направления на поверхности, обладающие следующими свойствами:

- для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма поверхности, вычисленная в точке

, обращается в нуль,

- все остальные направления на поверхности в точке

разбиваются на два класса – для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма положительна и для другого отрицательна.

Пусть некоторое направление

положительного класса задается углом . В соответствии с формулой (4) имеем

, ([1],[4],[11])

где

Как видно из формулы (3), знак отклонения

для всех достаточно малых значений в рассматриваемом направлении совпадает со знаком второй квадратичной формы . Следовательно, если точка поверхности достаточно близка к точке , то это отклонение положительно.