Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана (стр. 3 из 13)

Рассуждая аналогично, можно указать точки на поверхности, близкие к точке

, для которых отклонение будет отрицательным.

Приведенные рассуждения показывают, что вблизи точки

поверхность располагается по разные стороны от касательной плоскости. При этом проекции точек поверхности, отклонения которых расположены на касательный плоскости заполняются множество «между» этими направлениями…

В этом случае точка называется гиперболической точкой поверхности.

Случай 3.

.

Но отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов,

, .

Пусть для определенности

. Тогда вторая квадратичная форма поверхности в точке может быть записана в следующем виде

Тем самым в зависимости от знака

форма либо неотрицательна, либо неположительна. При этом на поверхности в точке можно указать направление , такое, что определяющие его дифференциалы и обращают вторую квадратичную форму в нуль.

Для всех других направлений на поверхности в точке

форма имеет один и тот же знак (совпадающий со знаком )

В этом случае точка

называется параболической точкой поверхности .

Случай 4. ([1],[11],[12])

Такая точка

называется точкой уплощения поверхности. Расположение поверхности, близ таких точек может быть самым разнообразным.

Например, все точки плоскости являются точками уплощения.

1.5 Средняя и гауссова кривизны поверхности

Нам осталось рассмотреть еще немного понятий, прежде чем приступить к исследованиям. Рассмотрим на поверхности

произвольную - регулярную кривую, проходящую через точку в направлении .

Пусть

- естественная параметризация кривой. Вычислим в точке

три вектора

- единичный вектор касательной к кривой

,

- единичный вектор нормали к поверхности

- и вектор

Эта тройка векторов линейно независима. Это позволяет представить вектор

в виде линейной комбинации

Так как

, то

.

Коэффициенты

и имеют специальные названия.

– нормальная кривизна кривой

– геодезическая кривизна кривой.

Примем без доказательства следующую формулу для вычисления нормальной кривизны поверхности в заданном направлении

(1)

Как видно из этой формулы нормальная кривизна поверхности в данной точке зависит от направления на поверхности.

Определение 1.3.

Направление на поверхности называется главным, если нормальная кривизна в этом направлении достигает экстремального значения.

Покажем, что в каждой точке

-регулярной поверхности найдется не мене двух различных главных направлений.

Пусть

– произвольное направление в точке на поверхности . Тогда

(2)

(2) – дифференцируемая функция переменных

и . Отметим, что функции коэффициентов второй и первой квадратичных форм определяются только выбором точки и от переменных и не зависят.

Полагая

,

получим, что

Так как функция

непрерывна и , то на отрезке она либо постоянна, либо имеет хотя бы один максимум. Это и означает, что в каждой точке - регулярной поверхности есть два различных главных направления.

Определение 1.4.

Экстремальные значения нормальных кривизн в главных направлениях называются главными кривизнами поверхности в данной точке.

Укажем способ вычисления главных кривизн в данной точке регулярной поверхности.

Из формулы (2) вытекает тождество относительно переменных

и

(3)

Продифференцируем это тождество по

. Учитывая, что производная нормальной кривизны в главном направлении обращается в нуль, получим для главного направления

(4)

(5)

Здесь

– главная кривизна в направлении .