Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана (стр. 4 из 13)

Рассматривая полученные соотношения (4) и (5) как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

и , получим, что эта система всегда имеет ненулевое решение, так как в данной точке регулярной поверхности всегда есть главные направления.

Из этого вытекает, что

Вычисляя определитель, мы получим квадратное уравнение для искомой функции

(внимание… мы его будем использовать при некоторых выкладках далее).

(6)

Возможны два случая.

Случай 1.

Квадратное уравнение имеет два различных корня

и .

Этим корням на поверхности соответствует два различных главных направления.

Случай 2.

Уравнение (6) имеет один корень кратности 2

.

Это могут быть только точки уплощения

или омбилические точки (точки округления) ( ).

Определение 1.5.

Средней кривизной

поверхности в данной точке называется полусумма ее главных кривизн в этой точке.

(7)

Определение 1.6.

Гауссовой кривизной

поверхности называется произведение ее главных кривизн.

(8)

В виду уравнения (6) можно показать, что

(9)

(10)

Этих основных понятий нам пока хватит для рассмотрения специального класса поверхностей.

Глава 2. Понятие поверхности Каталана

2.1 Общие положения

Определение 2.1.

Поверхность Каталана – линейчатая поверхность, прямолинейные образующие которой параллельны одной и той же плоскости.

Определение 2.2.

Плоскость, которой параллельны образующие поверхности Каталана, называется плоскостью параллелизма.

Определение 2.3.

Поверхность Каталана, все образующие которой пересекают одну прямую, называется Коноидом.

Замечание 2.1.

Обычно предполагают, что уравнение поверхность Каталана:

, причем .

Мы, однако, не будем учитывать это условие, а ограничимся указанным выше определением. И те, и другие поверхности мы будем для краткости называть поверхностями Каталана.

Замечание 2.2.

Из определения поверхности Каталана следует, что, если ее уравнение:

, то .

Это очевидно, так как все три вектора (вычисленные при одном и том же значении параметра), участвующие в смешанном произведении лежат в одной плоскости, – плоскости параллелизма, т.е. они компланарны.

Для обратного утверждения справедлива теорема.

Теорема 2.1.

Достаточное условие того, что данная линейчатая поверхность является поверхностью Каталана.

Пусть задана линейчатая поверхность

,

причем вектор-функция

трижды непрерывно дифференцируема (здесь и далее мы говорим о каком-либо простом куске поверхности, которому отвечают некоторые промежутки параметров). Тогда если и неколлинеарен ни в одной точке то данная поверхность является поверхностью Каталана.

Доказательство.

Рассмотрим два случая: когда кривая, описываемая вектором

– плоская и когда она неплоская.

1) Предположим, что кривая

– плоская. Тогда равенство просто следует из этого факта. Очевидно, что все тройки векторов (при любом значении параметра) лежат в плоскости кривой . Поэтому и все образующие лежат в этой плоскости, значит и поверхность является по определению поверхностью Каталана.

2) Предположим, что кривая

– неплоская. По условию теоремы . Продифференцируем это равенство один раз по параметру:

.

Если

коллинеарен вектору в некоторой точке. Тогда

Значит

коллинеарен , а значит, коллинеарен и , а мы предположили противное, значит, этот случай невозможен, т.е. неколлинеарен вектору .

Посмотрим на картинку:

Так как

, то все эти три вектора лежат в одной плоскости – плоскости . А в силу того, что , эти векторы тоже лежат в одной плоскости – плоскости (в первом случае плоскость обозначена двумя дугами, во втором, одной дугой). Так как векторы и неколлинеарны, то они в обоих случаях определяют плоскость, т.е. плоскости и – совпадают, а значит, все четыре вектора: , , , лежат в одной плоскости, а значит: .

Напомним, что если дана кривая

. То кручение кривой в точке вычисляется по формуле:

(*)

Т.к.

– то кривая – плоская, а это противоречит предположению пункта два. Т.е. рассматриваемая ситуация невозможна.

Таким образом, кривая

(в условиях теоремы) может быть только плоской кривой и при этом поверхность является поверхностью Каталана ч.т.д.

Замечание 2.3. Если в теореме убрать предположение о тройной непрерывной дифференцируемости вектор-функции

. То можно построить пример поверхности, такой что , но при этом поверхность не является поверхностью Каталана.