Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана (стр. 7 из 13)

3.2 Первая и вторая квадратичные формы поверхности Каталана

Итак, из формулы (5), (6), (7):

. (5)

. (6)

. (7)

Для поверхности Каталана мы имеем дополнительное условие

. Тут мы не получим никаких существенных изменений.

Определитель

индекс

говорит о том, что он вычислен для поверхности Каталана.

Расчет

(8)

Расчет M.

. (9)

Расчет N.

– средняя кривизна поверхности в заданной точке.

В нашем случае:

. (10)

. (11)

Можно считать, что

Тогда:

Аналогичная величина для произвольной линейчатой поверхности имеет вид:

Как мы видим, – последнее слагаемое обращается в нуль

Очевидно, что для поверхности Каталана:

Подставим это выражение для

для поверхности Каталана.

Итак, пересчитаем коэффициенты второй квадратичной формы для поверхности Каталана.

(12)

- без изменений

– без изменений.

Теперь средняя кривизна.

(13)

Попробуем найти все минимальные поверхности Каталана.

(14)

Рассмотрим два случая.

1. Поверхность Каталана является развертывающейся поверхностью (т.е. цилиндром).

Тогда, очевидно:

Уравнение примет вид:

. (15)

Пусть

. Также, можно положить

. Тогда уравнение запишется в виде:

(16)

Предположим, что функция

известная (ситуация абсолютно симметрична, как мы видим).

Сделаем замену искомой функции:

. Получим:

Предположим, что

. Быть может за исключением какого-то множества точек, которое мы исключим из рассмотрения (так как нас интересуют общие, регулярные свойства поверхности, то на общность рассмотрения это не повлияет).

Таким образом, все цилиндры вида:

(17)

являются минимальными поверхностями.

Заметим, что

, поэтому.

Также может выполняться, если

, т.е. если

, то выполняется система:

причем

(нигде, кроме быть может, каких-то точек). Проинтегрируем, например первое уравнение.

Сделаем замену искомой функции:

Получим:

Откуда

В результате получаем более приемлемое выражение, описывающее все минимальные цилиндры (с точностью до ориентации в пространстве).

Пусть для удобства записи функция

, тогда:

Итак, цилиндры, вида:

являются минимальными поверхностями.

Однако, как легко видеть – это только плоскости…

Теорема 3.1. О минимальных цилиндрах.

Среди цилиндров только плоскости являются минимальными поверхностями.

Доказательство

Пусть дан цилиндр.

Тогда

Поэтому уравнение для определения главных кривизн

примет вид.

, т.е.

Вспомним формулу для средней кривизны, а именно:

В нашем случае, это возможно только если

. А это означает, что цилиндрическая поверхность сплошь состоит из точек уплощения. Т.е. является плоскостью.

Вернемся к рассмотрению уравнения (14)