Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана (стр. 9 из 13)

(23)

Откуда также можно сделать вывод, что

– иначе равенство невозможно. Также, очевидно, что и . Другими словами существует такая замена переменного параметра , что выполнится указанное выше соотношение.

Если проанализировать это равенство для одной из координат:

.

Тогда, если существует обратная функция

, то:

.

Проверим наши выкладки на примере.

Рассмотрим два цилиндра:

1)

Проверим, является ли этот цилиндр коноидом:

.

Допустим, что локально можно положить:

С другой стороны,

.

Естественно, выполнение этих двух условий в системе возможно только в каких-то определенных точках, что нас не устраивает. Очевидно, это не коноид. Результат тем более очевиден, что если

, то лини – это синусоиды, а не прямые.

2)

.

Очевидно:

,

остальные равенства выполняются при равенстве нулю коэффициентов линейной функции.

Очевидно, что коэффициенты в данном случае влияют лишь на динамику обхода линий

.

Данная поверхность Каталана является коноидом.

Итак, данный цилиндр, является коноидом, тогда и только тогда, когда существует такая замена переменного

, что

. (24)

При этом найдется целое семейство прямых, каждый член которого не совпадет ни с одной образующей и который все образующие пересекают.

Из (24) легко понять, что если такая замена существует, то поверхность является просто плоскостью. Другими словами, справедлива теорема.

Теорема 3.2.О кониодных цилиндрах.

Среди всех цилиндров только плоскость является коноидом.

Вернемся к рассмотрению общего случая соотношения (20). Напомним.

Перепишем это уравнение в следующем виде:

Константу можно «убрать» в функцию

.

.

Рассмотрения возможных случаев, когда данное уравнение имеет невырожденное решение мы оставим за границами нашего рассмотрения.

Глава 4. Специальные поверхности Каталана (поверхности

класса КА)

Рассмотрим две пространственные кривые:

(1)

и

, (2)

плоскость

с нормальным вектором . Причем будем полагать, что для любых плоскость с нормальных вектором , проходящая через точку пересекает кривую ровно в одной точке. Это условие мы будем для краткости называть условием согласованности кривых относительно плоскости . Соответственно, две таких кривых мы будем называть согласованными относительно плоскости .

Определение 4.1.

Пусть кривые (1) и (2) согласованны относительно плоскости

. Тогда множество прямых, опирающихся на эти кривые и параллельных плоскости называется поверхность класса КА. Плоскость в данном случае называется плоскостью параллелизма.

Эту поверхность можно себе представить следующим образом. Пусть в пространстве расположены две кривые, согласованные относительно некоторой плоскости

. Пусть плоскость сначала проходит через точку первой кривой и точку второй кривой. Прямая принадлежит множеству, описываемому в определении 2. Двигаясь параллельно самой себе, плоскость будет пересекать новые пары точек, лежащих на заданных кривых – они также будут принадлежать формируемой таким образом поверхности. Можно сказать, что плоскость «отстраивает» поверхность, проходя через данные кривые.

Первым нашим шагов в изучении данного вида поверхностей будет вывод уравнения данной поверхности.

4.1 Вывод уравнения поверхности класса КА

Итак, пусть задано две кривые и вектор (нормальный вектор порождающей плоскости).

Выберем систему координат так, чтобы ось

совпадала по направлению с заданным вектором.

Имеем:

– первая кривая.

– вторая кривая.

,

,

.

Дополнительно требуем, чтобы первая и вторая кривые были согласованны относительно плоскости

.

Возьмем точку

, лежащую на оси . Плоскость, проходящая через данную точку и имеющая нормальный вектор , согласно условию согласованности пересекает каждую из кривых ровно в одной точке.

Кривую I в точке

.

Кривую II в точке

.

Становиться очевидным, что в качестве параметра кривых удобно выбрать

. При переходе к параметру (Это можно сделать ввиду условия согласованности), уравнения кривых приобретают вид:

– первая кривая,

– вторая кривая.

Тогда при выбранной точке

порождающая плоскость пересечет первую кривую в точке , а вторую кривую в точке .

Таким образом, направляющий вектор прямой, порожденной данной плоскостью и лежащей на поверхности есть вектор

.

Тогда легко понять, что вся поверхность описывается уравнением:

(3)

Так как разность

– снова функция параметра , то иногда будет удобно использовать следующую запись уравнения: