Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана (стр. 1 из 13)

Содержание

Глава 1.Введение в дифференциальную геометрию поверхностей. Основные понятия

1.1 Первая квадратичная форма поверхности

1.2 Внутренняя геометрия поверхности

1.3 Вторая квадратичная форма поверхности

1.4 Классификация точек регулярной поверхности

1.5 Средняя и гауссова кривизны поверхности

Глава 2. Понятие поверхности Каталана

2.1 Общие положения

2.2 Примеры поверхностей Каталана

2.3 Виды поверхностей Каталана

Глава 3. Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана

3.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой поверхности

3.2 Первая и вторая квадратичные формы поверхности Каталана

3.3 О коноидах

Глава 4. Специальные поверхности Каталана (поверхности класса КА)

4.1 Вывод уравнения поверхности класса КА

4.2 Вывод уравнения поверхности класса КА по заданным кривым и нормальному вектору порождающей плоскости

Глава 5. Дифференциальная геометрия поверхностей класса КА

5.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой поверхности

5.2 Первая квадратичная форма поверхности класса КА

5.3 Вторая квадратичная форма поверхности класса КА

Глава 6. О программе визуализации и анализа поверхностей

6.1 Общие положения и возможности программы

6.2 Примеры работы

Выводы

Список литературы

Глава 1. Введение в дифференциальную геометрию поверхностей.

Основные понятия

1.1 Первая квадратичная форма поверхности

Пусть

- гладкая поверхность, – ее векторное параметрическое уравнение и .

Определение 1.1.

Первой квадратичной формой на поверхности

называется выражение

(1)

Распишем это выражение подробнее.

,

Откуда

(2)

Выражение (2) в каждой точке поверхности

представляет собой квадратичную форму от дифференциалов и . Первая квадратичная форма является знакоположительной, так как ее дискриминант

и .

Для коэффициентов первой квадратичной формы часто используют следующие обозначения (и мы в своих исследованиях будем придерживаться именно их) ([1].[2],[3]):

,

,

.

Так что выражение (2) для формы

можно переписать в виде

(3)

Соответственно,

.

1.2 Внутренняя геометрия поверхности

Известно, что, зная первую квадратичную форму поверхности, можно вычислять длины дуг кривых на поверхности, углы между кривыми и площади областей на поверхности. В самом деле, если рассмотреть формулы, определяющие вышеуказанные величины, можно заметить, что туда входят только лишь коэффициенты

, , первой квадратичной формы. Поэтому если известная первая квадратичная форма поверхности, можно исследовать геометрию на поверхности, не обращаясь к ее уравнениям, а лишь используя ее первую квадратичную форму.

Совокупность геометрических фактов, относящихся к поверхности, которые можно получить при помощи ее первой квадратичной формы, составляет так называемую внутреннюю геометрию поверхности.

Поверхности, имеющие одинаковые первые квадратичные формы и потому имеющие одинаковую внутреннюю геометрию, называются изометричными.

Рассмотрим простой пример.

Пусть задана поверхность

Это цилиндрическая поверхность с синусоидой в качестве направляющей.

Имеем:

,

Поэтому

,

,

Следовательно,

.

Если сделать замену, вводя новые параметры

и таким образом

,

.

Тогда первая квадратичная форма поверхности примет, очевидно, вид

.

Мы видим, что в новых переменных первая квадратичная форма рассматриваемой цилиндрической поверхности совпадает с первой квадратичной формой плоскости

и поэтому внутренняя геометрия этой поверхности совпадает с внутренней геометрией плоскости. Т.е. синусоидальный цилиндр изометричен плоскости. Этот важный факт мы еще получим несколько другим способом.

Чисто геометрически это свойство понятно: синусоидальный цилиндр получается изгибанием (т.е. деформацией без сжатий и растяжений) обычной плоскости. При такой деформации внутренняя геометрия не изменяется.

Более того, можно показать, что если одна поверхность получается из другой путем изгибания, то внутренние геометрии этих поверхностей совпадают.

1.3 Вторая квадратичная форма поверхности

1.3.1. Определение второй квадратичной формы.

Основным объектом рассмотрения в этой части изложения станет

- регулярная поверхность , заданная своим радиус-вектором.

,

В каждой точке такой поверхности помимо единичного вектора нормали

(1)

Определен и второй дифференциал радиус вектора

(2)

Определение 1.2.

Второй квадратичной формой поверхности

называется скалярное произведение векторов и .

([1],[3],[4],[5]) (3)

Нетрудно заметить, что в каждой точке поверхности

квадратичная форма (3) является квадратичной формой относительно дифференциалов и .

Для коэффициентов второй квадратичной формы приняты (и мы также в дальнейшем будем пользоваться этим) следующие обозначения

(4)

Это позволяет записать ее в следующем простом виде

(5)

Покажем еще один способ вычисления коэффициентов второй квадратичной формы поверхности.

Заменим в формулах (4) единичный вектор нормали

на его выражение (1), получим,

(6)

Для подробного вывода нужно знать тождество:

.

Продолжим рассуждения.

Так как векторы

и ортогональны (первый, разумеется лежит в касательной плоскости к поверхности, а второй лежит в плоскости нормального сечения).