Математические модели физико-химических процессов (стр. 3 из 9)

Подобие физических величин предполагает, что в рассматриваемых подобных системах (натуры и модели) отношение значений физических величин двух любых сходственных точек или частиц, подобно размещенных в пространстве и времени, есть величина постоянная. Подобие физических величин включает подобие не только физических констант, но и совокупности значений физических величин, или полей физических величин. Таким образом, при соблюдении геометрического и временного подобия будет соблюдаться также подобие скоростей, температур, концентраций и других физических величин.

Подобие начальных и граничных условий предполагает, что начальное состояние и состояние на границах систем (натуры и модели) подобны, т.е. отношения параметров в начале и на границах систем постоянны. Это справедливо лишь в тех случаях, когда для начальных и граничных условий систем выдерживаются геометрическое, временное и физическое подобия.

Все константы подобия постоянны для различных сходственных точек подобных систем, но изменяются в зависимости от соотношения размеров натуры и модели. Это обстоятельство представляет большие неудобства для масштабирования и преодолевается введением т.н. инвариантов подобия. Если все сходственные величины, определяющие состояние данной системы (натуры) и подобной ей системы (модели), измерять в относительных единицах, т.е. брать сходственное отношение величин для каждой системы, то оно также будет величиной постоянной и безразмерной. Такие числа называются инвариантами подобия.

Инварианты подобия, представляющие собой отношения однородных величин, называют симплексами или параметрическими критериями. Инварианты подобия, выраженные отношением разнородных величин, называют критериями подобия (например критерий Рейнольдса Rе)

Таким образом, явления, подобные между собой, характеризуются численно равными критериями подобия. Равенство критериев подобия – единственное количественное условие подобия процессов. отношение констант подобия называют индикатором подобия и равно 1, следовательно у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Любая зависимость между переменными, характеризующими какое-либо явление (т.е. система дифференциальных уравнений), может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия:

F(К₁, К₂, К₃,…)=0

Эту зависимость называют обобщенным (критериальным) уравнением, а критерии подобия К_i – обобщенными переменными величинами.

Таким образом, теория подобия дает возможность представить решение дифференциальных уравнений и обрабатывать экспериментальные данные в виде обобщенных критериальных уравнений. Если какой-либо эффект в исследуемом процессе становится очень слабым по сравнению с другими, то его влиянием можно пренебречь. В этом случае критерии, характеризующие интенсивность этого эффекта могут быть опущены из рассмотрения, и процесс приобретает свойство автомодельности, т.е. независимости от этих критериев. Такое моделирование называют приближенным.

Таким образом, теория подобия указывает, как надо ставить опыты и обрабатывать опытные данные, чтобы, ограничившись минимальным числом опытов, иметь основание обобщать их результаты и получать закономерности для целой группы подобных явлений. Теория подобия позволяет с достаточной для практики точностью изучать сложные процессы на моделях (значительно меньших по размерам и часто более простых, чем аппараты натуральной величины), используя при этом не рабочие вещества (иногда токсичные, пожаро- и взрывоопасные, дорогостоящие и т.п.), а модельные (например воду, воздух и т.п.)

Математическое моделирование – это по существу определение свойств и характеристик рассматриваемого явления (процесса) путем решения (как правило с помощью ЭВМ) систем уравнений, описывающих этот процесс – математической модели. При этом очень важно составить модель так, чтобы она достаточно точно отражала основные свойства рассматриваемого процесса и в то же время была доступной для исследования.

Математическое моделирование по существу является одним из методов физического моделирования и составляет с ним единую систему исследования объектов познания. Общая схема процесса математического моделирования (численного эксперимента) включает 8 исследовательских этапов:

1. Постановка задачи. Определяет не только цель, но и пути решения данной задачи;

2. Анализ теоретических основ процесса (составление физической модели процесса). На этой стадии необходимо выявить, какие фундаментальные законы лежат в основе данного процесса;

3. Составление математической модели процесса. Различают два основных вида математиченских моделей: детерминированные (аналитические), построенные на основе физико-химической сущности, т.е. механизма изучаемых процессов и статистические (эмпирические), полученные в виде уравнений регрессии на основе обработки экспериментальных данных;

4. Алгоритмизация математической модели. Следует выбрать общий подход к решению задачи и определить совокупность критериев, которым должна удовлетворять полученная система уравнений модели. Кроме того, здесь же необходимо провести анализ задачи (математический и физический), который должен подтвердить существование и единственность решения;

5. Параметрическая идентификация модели. Под параметрами математической модели понимают коэффициенты, которые учитывают те или иные особенности объекта – натуры и характеризуют свойства данной натуры, отличающие ее от других натур подобного класса;

6. Проверка адекватности математической модели. Для проверки адекватности математической модели реальному процессу необходимо сравнить наблюдаемые в ходе эксперимента величины с прогнозами по модели при определенных параметрах процесса. Обычно это сравнение осуществляется путем проверки некоторой статистической гипотезы;

7. Моделирование процесса. Решение математической модели процесса при варьировании параметров процесса в интересующем для данного исследования диапазоне;

8. Анализ полученной информации. Изучение и проверка результатов, полученных при решении математической модели. На основе проведенного анализа принимают решение – выдать рекомендации для практической реализации или продолжить исследование.

8. Написать основные критерии гидродинамического подобия и объяснить их физический смысл. Написать общий вид критериальной зависимости

Основные гидродинамические критерии подобия: критерий Рейнольдса Rе, критерий гомохромности Но, критерий Эйлера Еu, критерий Фруда Fr.

Критерий Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам трения и определяет режим движения во всех сходственных точках подобных систем:

Критерий гомохромности Но характеризует неустановившееся состояние процесса:

Критерий Эйлера, характеризует отношение сил гидростатического давления к силам инерции:

Критерию Эйлера обычно придают несколько иной вид. Вместо величины абсолютного давления р вводят разность давлений Δр в каких-нибудь двух точках жидкости:

Критерий Фруда отражает влияние сил тяжести на движение жидкости:

Чтобы избежать дробных величин обычно пользуются обратным выражением:

Таким образом, решение уравнения Навье-Стокса, описывающее в общем виде процесс движения вязкой жидкости, может быть представлено критериальным уравнением вида:

F(Но, Еu, Fr, Rе) = 0

которое называют обобщенным (критериальным) уравнением гидродинамики. Любая задача движения вязкой жидкости может быть решена путем нахождения зависимости между критериями, входящими в это уравнение.

В этом уравнении все критерии подобия, кроме Еu, являются определяющими, т.к. они составлены только из величин, выражающих условия однозначности. Поскольку при решении практических задач обычно определяют Δр, входящую в Еu, то в этом случае уравнение записывают относительно определяемого критерия Еu:

Еu=f₁(Но, Fr, Rе)

Например:

Еu=АНо^q∙Frⁿ∙Rе^m,

Где значения А, q, n, m обычно определяют опытным путем.

9. Написать уравнение для определения потери напора на трение. Как рассчитываются коэффициенты трения и коэффициент местных сопротивлений

Гидродинамический напор в сечении, где жидкость вытекает из трубопровода, выражается равенством:

Потеря напора h_п в трубопроводе обусловлена наличием наличием сопротивлений, которые должна преодолеть протекающая жидкость на своем пути. Эти сопротивления бывают двух родов:

1) сопротивление трения жидкости о стенки:

2) местные сопротивления, возникающие при изменении направления жидкости или геометрической формы трубопровода

Потеря напора от сил трения выражается следующей формулой:

Функцию λ=φ(Rе) в этом уравнении называют коэффициентом трения. Числовое значение этого коэффициента зависит от характера движения.

При ламинарном течении жидкости:

- для потока в трубе круглого сечения