Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта

1. Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию у = ¦(х) на [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h = 0,04:

¦(х) = lnx

Найти значения в точках 1,05; 1,13; 1,17.

Решение

Построим таблицу значений функции на интервале [1,00; 1,20] с шагом

h = 0,04:

x	¦(х) = lnx
1	0
1,04	0,039221
1,08	0,076961
1,12	0,113329
1,16	0,14842
1,2	0,182322

Сплайн-интерполяция таблично заданной функции

1. На отрезке [a, b] задать одномерную сетку

h_x = {x_i / x_i = x_{i –1} + h_i, h_i > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x₀ = a, x_n = b}

и значения y_i = f(x_i) в узлах сетки x_i, i = 0, 1, 2, …, n.

Задать x^*Î (a, b).

2. Положить a_i = y_j, i = 0, 1, 2, …, n.

3. Составить и решить трех диагональную систему методом прогонки:

Определить значения коэффициентов c_i, i = 0, 1, 2, …, n.

4. Определить значения коэффициентов d_i и b_i, i = 1, 2, 3, …, n, воспользовавшись формулами:

d_i = (c_i–c_i–1) / h_i, i = 1, 2, …

5. Определить значение индекса 0 < k£n из условия x^*Î [x_{k – 1}, x_k].

6. Вычислить по формуле

S(x^*) = S_k(x^*) = a_k + b_k(x^* – x_k) + (c_k / 2)(x^* – x_k)² + (d_k / 6)(x^* – x_k)³.

7. Процесс завершен: S(x^*) – результат интерполяции табличных данных в точку x^*Î (a, b).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

ai	bi	ci	di
0,03922	0,96467	-1,188280	-29,70700
0,07696	0,92494	-0,798322	9,74897
0,11333	0,89366	-0,765997	0,80813
0,14842	0,85986	-0,92391	-3,94780
0,18232	0,84138	0,00000	23,09770

Значение функции в точке находится по формуле:

S(x^*) = S_k(x^*) = a_k + b_k(x^* – x_k) + (c_k / 2)(x^* – x_k)² + (d_k / 6)(x^* – x_k)³

2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения на равномерной сетке [a, b] с шагом 0,2 методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта

, , 0 £ х £ 1

Решение. Метод Эйлера

- разностная аппроксимация Эйлера. Точность метода

. Метод Рунге-Кутта

дифференциальный интерполирующий уравнение сплайн

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблиц:

Метод Эйлера

x	y
0	0	1
0,2	0,2	1
0,4	0,416	1.04
0,6	0,67392	1.1232
0,8	1,00639	1.25798
1	1,45926	1.45926

Метод Рунге-Кутта

i							=
0	0	1	0	0,02	0,0202	0,040808	1,0202
1	0,2	1,0202	0,0408081	0,0624363	0,0630852	0,0866629	1,08329
2	0,4	1,08329	0,086663	0,112662	0,113962	0,14367	1,19722
3	0,6	1,19722	0,143666	0,177667	0,180047	0,220362	1,37713
4	0,8	1,37713	0,22034	0,267713	0,271977	0,329821	1,64872
5	1	1,64872	0,329743	0,398989	0,406607	0,493278	2,05442

3. Найти решение задачи безусловной минимизации ¦(х) ®min, х ÎR². Установить множество глобального решения

¦(х) =

Решение

Данная задача решается методом сопряженных направлений (градиентов). Алгоритм данного метода представлен далее.

Метод сопряженных направлений

1 Начать с точки x⁽⁰⁾ = (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, …, x_n⁽⁰⁾)^т и n-линейно независимых направлений s⁽ⁱ⁾,

i = 1, 2, …, n, которые могут быть выбраны, например, совпадающими с координатными направлениями e⁽ⁱ⁾, i = 1, 2, …, n. Положить k = 1.

2 Начиная с точки x⁽⁰⁾ осуществить одномерный поиск для функции f(x) в направлении s⁽ⁿ⁾ и определить точку z⁽¹⁾.

3 Начиная с точки z⁽¹⁾ осуществить последовательно n – 1 одномерный поиск для f(x) сначала в направлении s⁽¹⁾, а затем из полученной точки в направлении s⁽²⁾ и т. д. до одномерного поиска в направлении s^{(n – 1)} включительно. В результате этих действий будет определена точка x⁽²⁾.

4 Начиная с точки x⁽²⁾ осуществить одномерный поиск для f(x) в направлении s⁽ⁿ⁾ и определить точку z⁽²⁾.

Согласно обобщенному свойству "параллельного подпространства" направление

s^{(n + 1)} = z⁽²⁾ – z⁽¹⁾

будет сопряженным по отношению к направлениям s⁽ⁿ⁾, s^{(n – 1)}, …, s^{(n – k + 1)} (для k = 1 – только к направлению s⁽ⁿ⁾).

5 Начиная с точки z⁽²⁾ осуществить поиск в направлении s^{(n + 1)} и определить x^*.

6 Положить k: = k + 1. Если k = n, перейти к выполнению п. 8.

7 Положить z⁽¹⁾: = x^* и s⁽ⁱ⁾: = s^{(i + 1)}, i = 1, 2, …, n.и перейти к выполнению п. 2.

8 Процесс вычислений завершен: x^* – точка минимума функции f(x).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

Таблица результатов

k
0	0	0	1	1	0
1	0	0	1	0	2	2	0	-4
2	2	0	0	1	-2	2	-2	-8

Точка (2,-2) – точка минимума функции. В этой точке функция принимает значение

.