Численные характеристики дискретных случайных величин (стр. 3 из 5)

или

(*)

Докажем, что

Событие, состоящее в том, что примет значение (вероятность этого события равна ), влечет за собой событие, которое состоит в том, что примет значение или (вероятность этого события по теореме сложения равна ), и обратно. Отсюда и следует, что Аналогично доказываются равенства

и

Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим

или окончательно

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е.

для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Пусть случайная величина задана законом распределения

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

…

По определению дисперсии,

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Формула для вычисления дисперсии

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины

и квадратом ее математического ожидания:

Доказательство. Математическое ожидание

есть постоянная величина, следовательно, и есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

Итак,

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины

равна нулю:

Доказательство. По определению дисперсии,

Пользуясь первым свойством математического ожидания, получим

.

Итак,

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Доказательство. По определению дисперсии имеем

Пользуясь вторым свойством математического ожидания (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим

Итак,

Свойство становится ясным, если принять во внимание, что при

величина имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания больше, чем возможные значения вокруг т.е. Напротив, если то

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

Итак,

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Свойство 4. дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Доказательство. В силу третьего свойства

По второму свойству,

или

Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.