Численные характеристики дискретных случайных величин (стр. 4 из 5)

Средним квадратическим отклонением случайной величины

называют квадратный корень из дисперсии:

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность

совпадает с размерностью . Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если выражается в линейных метрах, то будет выражаться также в линейных метрах, а в квадратных метрах.

Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Чтобы найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин, воспользуемся следующей теоремой.

Теорема: Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Доказательство. Обозначим через

сумму рассматриваемых взаимно независимых величин:

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых, поэтому

Отсюда

Или окончательно

Ковариация и коэффициент корреляции

Ковариацией скалярных случайных величин

и называется математическое ожидание произведения центрированной первой случайной величины и сопряженной центрированной второй случайной величины:

Чтобы получить формулу для вычисления ковариации действительных случайных величин

и , достаточно рассматривать как функцию случайных величин и :

где

совместная плотность величин и .

Чтобы получить формулу для вычисления ковариации комплексных случайных величин

и достаточно рассматривать произведение как функцию четырехмерного случайного вектора с координатами Тогда получим

где

совместная плотность случайных величин

За характеристику зависимости между двумя случайными величинами

и принимается отношение их ковариации к произведению их средних квадратических отклонений. Эта безразмерная величина называется коэффициентом корреляции величин и :

Таким образом, чтобы получить числовые характеристики двумерного случайного вектора, следует добавить к математическим ожиданиям и дисперсиям его координат еще и ковариацию или коэффициент корреляции.

Очевидно, что ковариация случайной величины

с сама с собой равно ее дисперсии, а ее коэффициент корреляции с самой собой равен единице, и в более общем случае, когда

Коррелированные и некоррелированные случайные величины

Зависимость между случайными величинами, характеризуемая коэффициентом корреляции, называется, корреляцией. Случайные величины называются коррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю. Из формулы

следует, что случайные величины не коррелированны тогда и только тогда, когда их ковариация равна нулю.

Легко видеть, что для некоррелированности случайных величин достаточно, чтобы их совместное распределение было симметрично относительно какой-нибудь прямой, параллельной одной из осей координат.

Моменты первого и второго порядков случайной величины

Математическое ожидание, дисперсия и ковариация представляют собой частные виды моментов случайных причин.

Моментом первого порядка (первым моментом) случайной величины называется ее математическое ожидание.

Моментом второго порядка (вторым моментом) скалярной (в общем случае комплексной) случайной величины

называется математическое ожидание квадрата ее модуля:

Центральным моментом второго порядка величины

называется момент второго порядка центрированной величины т.е. ее дисперсия.

Моментом второго порядка величины

относительно точки называется момент второго порядка разности

(*)

Очевидно, что

Смешанным моментом второго порядка скалярных случайных величин

и называется математическое ожидание произведения первой величины и сопряженной второй:

Центральным смешанным моментом второго порядка величин

и называется смешанный второй момент центрированных случайных величин и , т.е. ковариация величин и .

Смешанным моментом второго порядка величин

и относительно точек и называется смешанный второй момент разностей и