Численные характеристики дискретных случайных величин (стр. 1 из 5)

Введение

Как и всякие явления, случайные явления вызываются вполне определенными причинами. Все явления окружающего нас мира взаимно связаны и влияют одно на другое (закон всеобщей связи явлений). Поэтому каждое наблюдаемое явление связано причинной зависимостью с бесчисленным множеством других явлений и течение его зависит от бесчисленного множества факторов. Проследить все это бесконечное множество связей и определить действие каждой из них принципиально невозможно. Поэтому, изучая то или иное явление, человек ограничивается лишь основными факторами, определяющими его течение, и пренебрегает огромным количеством второстепенных явлений. Это дает возможность глубже проникнуть в сущность явления, установить его закономерность. Вместе с тем, поступая так, человек обедняет явление, схематизирует его. Иными словами, он заменяет изучаемое явление подходящей упрощенной его моделью. Вследствие этого любой закон науки отражает сущность изучаемого явления, но он всегда значительно беднее, уже самого явления. Никакой закон не может характеризовать явление всесторонне, во всей полноте и многообразии. Наблюдаемые в реальном явлении отклонения от закономерности, вызываемые совместным действием бесчисленного множества неучтенных факторов, и представляют собой случайные явления.

При экспериментальном изучении какого-либо явления с целью установления его закономерностей приходится наблюдать его многократно в одинаковых условиях. При этом под одинаковыми условиями мы понимаем одинаковые значения всех количественных характеристик контролируемых факторов. Все неконтролируемые факторы будут при этом различными. Вследствие этого действие контролируемых факторов будет практически одинаковым при разных наблюдениях одного и того же явления. В этом как раз и проявляются законы данного явления. Случайные же отклонения от закономерности, вызванные действием неконтролируемых факторов, будут различными при разных наблюдениях, причем предвидеть заранее, какими они будут при данном конкретном наблюдении, принципиально невозможно.Роль случайностей в разных явлениях различна. В некоторых явлениях случайные отклонения от закономерностей настолько малы, что их можно не учитывать. Однако есть и такие явления, в которых невозможно подметить никаких закономерностей, и случайность играет основную роль. Примером такого явления может служить движение малой частицы твердого вещества, взвешенной в жидкости, так называемое броуновское движение. Под действием толчков огромного количества движущихся молекул жидкости частица движется совершенно беспорядочно, без всякой видимой закономерности. В подобных явлениях сама случайность является закономерностью.При многократном наблюдении случайных явлений в них самих можно заметить определенные закономерности. Изучив эти закономерности, человек получает возможность в известной степени управлять случайными явлениями, ограничивать их влияние, предсказывать результаты их действия и даже целенаправленно использовать их в своей практической деятельности. Так, например, можно проектировать измерительные системы, обладающие максимальной доступной точностью, радиоприемные устройства с максимальной помехозащищенностью, обладающие минимальным уровнем шумов, системы управления движением летательных аппаратов, обеспечивающие наибольшую возможную точность навигации или наименьшее действие «болтанки» на летательный аппарат. Можно также проектировать технические системы, обладающие заданной надежностью.Изучением закономерностей массовых случайных явлений занимается особая математическая наука — теория вероятностей. Методы теории вероятностей, называемые вероятностными или статистическими, дают возможность производить расчеты, позволяющие делать определенные практические выводы относительно случайных явлений. Как и всякая прикладная наука, теория вероятностей нуждается в исходных экспериментальных данных для расчетов. Раздел теории вероятностей, изучающий методы обработки результатов опытов и получения из них необходимых данных, называется математической статистикой.

дискретный дисперсия ковариация корреляция

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина

может принимать только значения вероятности которых соответственно равны Тогда математическое ожидание случайной величины определяется равенством

Если дискретная случайная величина

принимает счетное множество возможных значений, то

Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Определение математического ожидания в общем случае

Определим математическое ожидание случайной величины

, распределение которой не обязательно дискретно. Начнем со случая неотрицательных случайных величин. Идея будет заключаться в том, чтобы аппроксимировать такие случайные величины с помощью дискретных, для которых математическое ожидание уже определено, а математическое ожидание положить равным пределу математических ожиданий приближающих ее дискретных случайных величин. Кстати, это очень полезная общая идея, состоящая в том, что некоторая характеристика сначала определяется для простых объектов, а затем для более сложных объектов она определяется с помощью аппроксимации их более простыми.

Лемма 1. Пусть

есть произвольная неотрицательная случайная величина. Тогда существует последовательность дискретных случайных величин, таких, что

Доказательство. Разобьем полуось

на равные отрезки длины и определим

если

Тогда свойства 1 и 2 легко следуют из определения случайной величины

, и

Лемма 2. Пусть

–неотрицательная случайная величина и и две последовательности дискретных случайных величин, обладающих свойствами 1-3 из леммы 1. Тогда

Доказательство. Отметим, что для неотрицательных случайных величин мы допускаем

В силу свойства 3 легко видеть, что существует последовательность

положительных чисел, такая что

Отсюда следует, что

. Используя свойства математических ожиданий для дискретных случайных величин, получаем

Переходя к пределу при

получаем утверждение леммы 2.

Определение 1. Пусть

– неотрицательная случайная величина, –последовательность дискретных случайных величин, обладающих свойствами 1-3 из леммы 1. Математическим ожиданием случайной величины называется число

Лемма 2 гарантирует, что

не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности .