Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле (стр. 2 из 3)

где τ(χ) — сумма Гаусса.

Доказательство. Воспользуемся доказанным в лемме 3, IV равенством

где x > 0, α — вещественное.

Имеем

что доказывает равенство (6).

Чтобы доказать равенство (7), продифференцируем почленно (8) и заменим x на х/к, α на m/k (указанные ряды можно почленно дифференцировать, так как получающиеся после этого ряды равномерно сходятся). Получим

Отсюда, как и выше, выводим

Лемма доказана.

§3. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость

Получим аналитическое продолжение функции L(s, χ) в область Res >0.

Лемма 3.1.Пусть χ(n) – неглавный характер по модулю m,

Тогда при Res > 1 справедливо равенство

Доказательство. Пусть N≥1, Res >1 . Применяя частное суммирование, будем иметь

Где c(x)=S(x)-1. Так как |c(x)|≤x , то, переходя к пределу N

, получим

Что и требовалось доказать.

§4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле. Тривиальные нули L-функции Дирихле

Теорема 4.1. (функциональное уравнение). Пусть χ— примитивный характер по модулю k,

Тогда справедливо равенство

Доказательство, по—существу, повторяет вывод функционального уравнения для дзета-функции (теорема 1, IV).

Предположим, что χ(-1)=+1. Имеем

Умножая последнее равенство на χ (п) и суммируя по п, при Res > 1 получим

Ввиду того, что χ — четный характер, имеем

Разбивая последний интеграл на два, производя в одном из них замену переменной интегрирования (х → 1/х) и пользуясь (6), найдем

Правая часть этого равенства является аналитической функцией при любом sи, следовательно, дает аналитическое продолжение L(s, χ) на всю s-плоскость. Так как Г(s/2)≠0, то L(s, χ) — регулярная всюду функция. Далее, при замене s на 1 — s и χ на

, правая часть (10) умножается на , так как χ(— 1)=1 и, следовательно, τ(χ) τ( )= τ(χ) = k. Отсюда получаем утверждение теоремы при δ = 0.

Предположим, что χ(—1) = —1. Имеем

Следовательно, при Res > 1

Последнее равенство дает регулярное продолжение L(s, χ) на всю s-плоскость; правая часть его при замене s на 1 — s и χ на

, умножается на i ввиду того, что

τ(χ) τ(

)= —k.

Отсюда получаем утверждение теоремы при δ = 1. Теорема доказана.

Следствие. L(s, χ) — целая функция; если χ (—1) = +1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤ 0 являются полюсы Г

, т. е. точки s = 0, —2, —4, ...;

если χ (—1) = —1, то единственными нулями L(s, χ) приRes≤ 0 являются полюсы Г

т. е. точки s = —1, —3, —5, .. .

дирихле тривиальный вейерштрасс риман

§5. Нетривиальные нули L-функции Дирихле

Тривиальные нули L-функции Дирихле

ξ(s, χ) — целая функция; если χ (—1) = +1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤0 являются полюсы

,т. е. точки s =0, —2. —4, ...; если χ (—1) = —1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤0 являются полюсы т.е. точки s = —1,-3, -5, .. .

5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций

Теорема 5.1. Пусть a₁, ..., а_п, ... — бесконечная последовательность комплексных чисел, причем

0< |a₁| ≤ |a₁| ≤...≤|а_n|<...

И lim

= 0.

Тогда существует целая функция G(s), которая имеет своими нулями только числа а_п (если среди а_п есть равные, то нуль G(s) будет иметь соответствующую кратность).

Следствие 5.1. Пусть последовательность чисел a₁, ..., а_п, ... удовлетворяет условиям теоремы 5.1., и, кроме того, существует целое число р > 0 такое, что сходится ряд

Тогда функция G₁(s),

удовлетворяет теореме5. 1.

Теорема 5.2. Каждая целая функция G(s) может быть представлена в виде

где H(s) — целая функция, а числа 0, a₁ ,a₂, ..., а…,-— нули G(s), расположенные в порядке возрастания их модулей. Если, кроме того, последовательность а_n , п = 1,2,..., удовлетворяет условиям следствия 5.1., то

Доказательство. Нули G(s) не могут иметь предельной точки, т. е. их можно расположить в порядке возрастания модулей. По теореме 5.1. построим целую функцию G₁ (s), имеющую своими нулями нули G(s). Полагая

при s≠a_n,

видим, что φ(s) — целая функция, нигде не равная нулю, т. е. и логарифм φ(s) — целая функция. Но тогда φ(s) = e^H(s), где H(s) — целая функция. Так же доказывается второе утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 5.3. Пусть G(s)— целая функция конечного порядка α и G(0)≠0, s_n— последовательность всех нулей G(s), причем 0 < |s₁| ≤ |s₂| ≤ ... ≤|s_n|≤ ... Тогда последовательность s_n имеет конечный показатель сходимости β≤α,

Где p≥0— наименьшее целое число, для которого

g(s)— многочлен степени g ≤α и α = max (g, β) Если, кроме того, для любого с > 0 найдется бесконечная последовательность r₁, r₂, ..., r_n, ..., r_n

+∞, такая, что

max |G(s)|>

, |s| = r_n , n = 1, 2, …,

то α=β и ряд

расходится.

5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции Дирихле

Из следствия к теореме 4.1 видно, что функция L(s, χ), χ— примитивный характер, имеет в полуплоскости Res < 0 лишь действительные нули; эти нули являются полюсами

или называются тривиальными; тривиальным также называется нуль s = 0. Кроме тривиальных функция L(s, χ) имеет подобно дзета-функции бесконечно много нетривиальных нулей, лежащих в полосе (критическая полоса) 0 ≤ Res≤ 1.

Теорема 5.1. Пусть χ— примитивный характер. Тогда функция ξ(s, χ) является целой функцией первого порядка, имеющей бесконечно много нулей ρ_nтаких, что 0≤Re ρ_n ≤ 1, ρ_n ≠0, причем ряд

расходится, а ряд

сходится при любом ε > 0. Нули ξ(s, χ) являются нетривиальными нулями L(s, χ).