Арифметичні застосування теорії конгруенцій (стр. 4 из 6)

Звідси випливає, що різних остач при зазначеному діленні буде не більш, як

. Це означає, що не пізніш як через кроків ми дістанемо повторення остач, а отже, й повторення цифр частки.

Для доведення теореми залишається показати, що перше повторення настане після

ділень, де - показник, до якого належить 10 за модулем причому перша остача, яка повторюється, саме и буде . Тому знайдений дріб буде чистим періодичним з числом цифр у періоді, яке дорівнює .

Але для доведення цих тверджень досить встановити, що коли

- найменший показник, для якого

, (1)

то при діленні на

будь-якого числа і взаємно простого з остача повториться тільки після визначення цифр частки.

Справді, конгруенція (1) еквівалентна конгруенції:

. (2)

Ця конгруенція саме й показує, що приписавши до числа

нулів, що відповідає визначенню послідовних цифр частки, дістанемо при діленні на остачу . Через те що -найменше невід'ємне число, для якого мають місце конгруенції (1) і (2), то жодна остача не може повторитись раніш як через ділень. Зокрема, при діленні на перша остача, що повторюється, саме й буде причому вона повториться точно через ділень. Цим теорему доведено.

Бачимо,

залежить тільки від знаменника нашого дробу і, звичайно, від основи нашої системи числення, тобто від числа g = 10. Тому два дроби і , які задовольняють умову теореми 1, матимуть одну й ту саму довжину періоду при перетворенні їх у десяткові дроби.

Приклад. Знайти довжину періоду, який утворюється при перетворенні дробів

, де - будь-яке ціле, взаємно-просте з 21 у десяткові. Тут ; ділимо:

У частці маємо 6 цифр, беручи до уваги й 0, який відповідає першій дев′ятці. Отже,

, тобто шуканий період складається з 6 цифр.

Теорема 2. Якщо

нескоротний дріб і

, де

, то цей дріб перетворюється у мішаний періодичний десятковий дріб; число цифр у періоді дробу дорівнює

де

- показник, якому належить 10 за модулем

; число цифр до періоду дорівнює

де

- найбільше з чисел

або

.

Доведення. Справді, нехай дріб

- нескоротний, причому

,

Помножимо

на ; після скорочення в знаменнику множників 2 і 5 отримаємо:

,

де дріб

- нескоротний і . За теоремою 1, цей дріб перетворюється у чистий періодичний з числом цифр у періоді, яке дорівнює , де - показник, до якого належить 10 за модулем . Щоб з нього дістати дріб , треба поділити на , тобто перенести кому в знайденому періодичному дробі на знаків ліворуч. У результаті отримаємо мішаний періодичний дріб з числом цифр до періоду, що дорівнює . Цим теорему доведено.

Приклад.

; маємо . Знайдемо , тобто показник, до якого належить 10 за модулем 7. Маємо:

.

Отже,

( можна знайти згідно з зауваженням зробленим вище). Таким способом усі дроби виду , де , перетворюються в мішані періодичні дроби з числом цифр у періоді, яке дорівнює 6, і з числом цифр до періоду яке дорівнює 2. Так наприклад, безпосередньо переконуємось, що

.

Розглянемо обернену задачу: знайти звичайний дріб, який відповідає заданому періодичному дробу.

Нехай дано чистий періодичний дріб:

де - ціла частина, тобто

,

або

;

але

,

де число

зображається дев'ятками. Отже отримаємо:

,

тобто для того, щоб перетворити чистий періодичний дріб у звичайний, треба період дробу зробити чисельником, а в знаменнику написати стільки дев'яток, скільки цифр у періоді, і знайдений дріб додати до цілої частини. Нехай тепер дано мішаний періодичний дріб: