Геометричні місця точок на площині та їх застосування (стр. 3 из 4)

Сполучаємо точку М з точкою А, С, В і D. Через те що

, то

Тобто МС і MD – бісектриси відповідно внутрішнього і зовнішнього кутів трикутника АВМ, або кут CMD =

Отже, де не лежала б точка М, при умовы нашоъ теореми, завжди буде так, що

Отже, точка М лежить на колі з діаметром CD.

Теорема 243. Довільна точка М кола з діаметром CD при умові, що точки C і D ділять відрізок АВ (точки А і В дані) відповідно зсередини і зовні у відношенні m: n, має ту властивість, що МА: МВ = m: n. Дані точки А, С, В і D так, що СА: СВ = m: n, і коло з діаметром CD (рис. 207).

Треба довести, що для довільної точки М кола існує відношення МА: МВ = m: n.

Через точку В проводимо пряму KL || MA.

З подібності трикутників АСМ, ВСК і ADM, BDL маємо:

тобто

Звідки одержуємо:

BK=BL.

Тому що

то медіана прямокутного трикутника KLM, проведена на гіпотенузу, дорівнює її половині, тобто BM = BK = BL.

Таким чином, маємо

що й треба було довести.

ХІХ. Геометричне місце точок, з яких два даних кола видно під одним і тим же кутом, є коло.

Доведемо теорему про дане місце точок.

Теорема 244. Будь-яка точка М, що має відносно двох даних кіл (рис. 208) К і К₁ таку властивість, що

, де МЕ і MF джотичні, проведені з точки М до кола К, а MGі MH – до кола К₁ лежить на колі Аполлонія.

Нехай О і О₁ є центри кіл К і К₁, а R і r – їх радіуси, проведені відповідно до точок F і G. Прямокутні трикутники OFM і O₁GM подібні, бо мають по рівному гострому кутові α. Звідки маємо:

Отже, всі точки М шуканого геометричного місця лежать на колі Аполлонія, коли R≠r, і на прямій, якщо R=r.

Теорема 245. Якщо точка М лежить на колі з діаметром CD, причому точки C і D ділять лінію центрів ОО₁ даних кіл К і К₁ у відношенні R:r – радіусів цих кіл, то з точки М кола К і К₁ видно під одним і тим же кутом α.

Із точки М можна провести дотичні до кіл К і К₁ (рис. 208), якщо М зовнішня по відношенню до обох кіл. Провівши дотичну MF до кола К і дотичну MG до кола К₁, знайдемо за властивістю кола Аполлонія, що в прямокутних трикутниках MOF і MGO₁

Якщо ж в двох прямокутних трикутниках гіпотенузи відносяться так, як два їх катети, то такі трикутники подібні. Отже,

що й треба було довести.

Зауваження. Якщо дані кола К і К₁ перетинаються, то геометричне місце – коло – проходить через точки перетину; якщо кола К і К₁ внутрішньо дотикаються, то шукане геометричне місце буде точкою; якщо одне з кіл К і К₁ лежить всередині другого, то шукане геометричне місце точок не існує.

Х. геометрипчне місце точок таких, що сума квадратів їх віддалей від двох даних точок А і В дорівнює квадратові довжини даного відрізка, тобто а²(а – даний відрізок), є коло, що його центр є точка О – середина відрізка АВ, а радіус є відрізок

де b дорівнює довжині відрізка АВ.

Доведемо теорему про дане місце точок.

Теорема 246. Будь-яка точка М, що має відносно двох даних точок А і В таку властивість, що МА² + МВ² = а², де а – даний відрізок, лежить на колі з центром в точці О – середині відрізка АВ = b і радіусом

Нехай довільна точка М задовольняє рівність МА²+МВ²=а² (рис. 209).

Побудуємо паралелограм MANB; маємо:

AB²+MN²=2MA²+2MB².

Але за умовою: АВ=b, МА²+МВ²=а² і діагональ MN=2OM, отже, з вищенаписаної рівності маємо:

4OM²=2a²-b²,

звідки

Таким чином, доведено, що будь-яка точка М, що задовольняє умову теореми, лежить на колі, описаному з центра О радіусом

Зауваження 1. Коли дано відрізок АВ=b і відрізок, рівний а, то для того, щоб визначити точку М, що має властивість МА²+МВ²=а², будуємо на гіпотенузі а будь-який прямокутний трикутник. Точка М перетину дуг, описаних з центрів А і В радіусами, відповідно рівними катетами побудованого прямокутного трикутника, якраз відповідає нашій умові.

Зауваження 2. а) Якщо b>a, то 2а² – b²>a², тобто r=OM>

Отже, коло, описане з центра О радіусом ОМ, охоплює відрізок АВ.

б) Якщо b=a, то 2а²-b²=a²=b², тобто

; тим самим коло, описане з центра О радіусом ОМ, проходить через точки А і В, і, отже, АВ є діаметром цього кола.

в) Якщо b>a, але b<a √2, то OM<2a²-b²<a², тобто OM<

і, тим більше, отже, коло, описане з центра О радіусом ОМ, перетинає відрізок АВ.

г) Якщо b=a√2, то 2а²-b²=0, тобто ОМ=0, і геометричне місце точок перетворюється в точку О.

д) Якщо b>a√2, то 2а²-b²<0 і задача не має розв’язку.

Обернена теорема. Будь-яка точка М кола, описаного зсередини О даного відразка АВ, як з центра, радіусом

де а – даний відрізок, задовольняє умову МА²+МВ²=а².

Дані точки А і В, де АВ=b, відрізок а і коло, описане з середини О відрізка АВ, як з центрра, радіусом

(рис. 210).

Треба довести, що будь-яка точка М побудованого кола відповідає умові: МА² + МВ² = а².

Проводимо діаметр MN і будуємо паралелограмм MANB, з якого маємо: 2MA² + 2MB² = AB² + MN², тобто MA² + MB² = a², бо MN² = 2a² – b², aAB² = b².

ХІ. Геометричне місце точок таких, що різниця квадратів їх віддалей від двох даних точок А і В дорівнює квадратові даного відрізка а (тобто а²), є пряма, перпендикулярна до прямої АВ в такій внутрішній або зовнішній точці С відрізка АВ, що СА²-СВ²=а².

Доведемо теорему про дане геометричне місце точок.

Теорема 247. Будь-яка точка М, що має відносно даних точок А і В властивість: МА² – МВ² = а², де а – даний відрізок, лежить на прямій, перпендикулярній до прямої АВ, і перетинає відрізок АВ в такій точці С, що СА² – СВ² = а².

Дані точки А і В і відрізок а: приймемо, що точка М задовольняє умову: МА² – МВ² = а² (рис. 211 і 212).

Опустимо з точки М перпендикуляр на пряму АВ і доведемо, що точка С перетину проведеного перпендикуляра з прямою АВ задовольняє умову: СА² – СВ² = а².

З прямокутних трикутників МАС і МСВ маємо: МА²= СА² + МС² і МВ² = СВ² + МС², тобто МА² – МВ² = СА² – СВ², або СА² – СВ² = а², що й треба було довести.

Зауваження 1. Коли дані точки А та В і відрізок а, то для того, щоб побудувати точку М, яка мала б властивість МА² + МВ² = а², на даному відрізку KLP = a, як на катеті, будуємо будь-який прямокутний трикутник KLP (рис. 213), але такий, щоб КР + LP було більше за відрізок АВ.

Коли з точки А, як з центра, опишемо дугу радіусом LP, а з точки В-дугу радіусом КР, то знайдемо точку М, що задовольняє умову МА² – МВ² = а².

Перпендикуляр МС до прямої АВ і буде шуканим геометричним місцем (рис. 214).

Зауваження 2. а) Якщо МА² < MB² + AB², тобто, якщо АВ² >МА² – МВ², або АВ² > a² і АВ² > a, то

– гострий і точка С лежить на відрізку АВ (рис. 211).

б) Якщо МА² = МВ² + АВ², тобто, якщо АВ² = а², або АВ = а, то

- прямий і точка С зливається з точкою В.

в) Якщо МА² > MB² + AB², тобто, якщо AB² < MA² – MB², або AB² < a² і АВ < а, то

- тупий і точка С лежить поза відрізком АВ (рис. 212).

Теорема 248. Будь-яка точка М прямої МС, перпендикулярної до даної прямої АВ і такої, що проходить через таку внутрішню або зовнішню точку С відрізка АВ, що СА² – СВ² = а², де а – даний відрізок, задовольняє умову МА² – МВ² = а².