Комплексные числа (стр. 3 из 6)
Показательная форма комплексного числа
Показательной формой комплексного числа
называется форма 
Показательная форма комплексного числа,(11)
где
.Примеры
1)
;2)
;3)
.Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действий со степенями:
,(12) 
,(13) 
,(14) 
, 
.(15) Примеры
Пусть
, 
.Тогда
; 
; 
; 
, 
Числа
являются вершинами правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса 
.Формулы Эйлера
Используем определение
Þ 
,так как
, 
.Из этих равенств следуют формулы Эйлера
Формулы Эйлера(16)
по которым тригонометрические функции
и 
действительной переменной 
выражаются через показательную функцию (экспоненту) с чисто мнимым показателем.§ 2. Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел
Целой функциейили алгебраическим многочленом (полиномом) аргумента x называется функция вида
.(1)Здесь n – степень многочлена(натуральное число или 0),
x– переменная (действительная или комплексная),
a0, a1, …, an –коэффициенты многочлена(действительные или комплексные числа),причем, a0¹ 0
Примеры
; 
; 
, 
– квадратный трехчлен; 
, ; 
. Определение алгебраического уравнения 
-й степени
Уравнение называется алгебраическим уравнением n-й степени относительно неизвестной x, если его левая часть является многочленом степени n относительно переменной x:
Pn(x) = 0,
(2)Число х0 такое, что Pn(x0) º 0, называется нулем функцииPn(x) или корнем уравнения
.Примеры
1)
– алгебраическое уравнение первой степени,его корень
;2)
– алгебраическое уравнение седьмой степени,его корни
, 
, 
.3) числа
и 
являются нулями функции 
, так как 
и 
.Замечание
В литературе часто нули функции
называются ее корнями. Например, числа и называются корнями квадратичной функции 
. Основные свойства многочленов (Перечислите основные свойства многочленов)
Свойство 1 (о тождественном равенстве многочленов)
Два многочлена одной степени n тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда совпадают их коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то есть
(3) 
.Доказательство
w Тождество (3) справедливо при "xÎ
(или "xÎ 
)Þ оно справедливо при
; подставляя , получим аn = bn.Взаимно уничтожим в (3) слагаемые аn и bn и поделим обе части на x:
.(3’)Это тождество тоже верно при "x, в том числе при x = 0
Þ полагая x = 0, получим аn – 1 = bn – 1.
Взаимно уничтожим в (3') слагаемые аn – 1 и an – 1 и поделим обе части на x, в результате получим
.Аналогично продолжая рассуждение, получим, что аn – 2 = bn –2, …, а0 = b0.
Таким образом, доказано, что из тождественного равенства 2-x многочленов следует совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x.
Обратное утверждение справедливо очевидно, т.е. если два многочлена имеют одинаковыми все коэффициенты, то они есть одинаковые функции, следовательно, их значения совпадают при всех значениях аргумента, что и означает их тождественное равенство. Свойство 1 доказано полностью. v
Пример
при 
.Свойство 2 (о делении многочлена на разность (x – х0))
При делении многочлена Pn(x) на разность (x – х0) получается остаток, равный Pn(x0), то есть