Комплексные числа (стр. 5 из 6)

Свойство 6 (о разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители)

Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается на произведение линейных и квадратичных функций с действительными коэффициентами.

Доказательство

w Пусть x0 = a + bi — нуль многочлена Pn(x). Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то

тоже является его нулем (по свойству 5).

Вычислим произведение двучленов

комплексный число многочлен уравнение

Получили (x – a)2 + b2 — квадратный трехчленс действительными коэффициентами.

Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. v

Примеры

1)P3(x) = x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1);

2)P4(x) = x4 – x3 + 4x2 – 4x = x(x –1)(x2 + 4).

Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел (Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел)

1. Алгебраические уравнения первой степени:

– единственный простой корень.

Пример

Ответ:

2. Квадратные уравнения:

– всегда имеет два корня (различных или равных).

Примеры

Ответ:

3. Двучленные уравнения степени

– всегда имеет

различных корней.

Пример

;

Ответ:

4. Решить кубическое уравнение

Решение.

Уравнение третьей степени

имеет три корня (действительные или комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительными числами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парными комплексно сопряженными.

Подбором находим первый корень уравнения

, так как

По следствию из теоремы Безу

. Вычисляем это деление «в столбик»:

_

_

_

Представляя теперь многочлен

в виде произведения линейно и квадратного множителя, получим:

Другие корни находим как корни квадратного уравнения:

Ответ:

5. Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x1 = 3 и x2 = 1 + i являются его корнями, причем x1 является двукратным корнем, а x2 — простым.

Решение.

Число

тоже является корнем уравнения, т.к. коэффициенты уравнения должны быть действительными.

Всего искомое уравнение имеет 4 корня: x1, x1, x2,

. Поэтому его степень равна 4. Составляем многочлен 4-й степени с нулями x1, x1, x2,

по формуле (6):