Решение нелинейных уравнений

Лабораторная работа

Решение нелинейных уравнений

Задание

N =07

М=2

Дано уравнение:

1. Найти все решения уравнения графически.

2. Уточнить значение одного из действительных решений уравнения с точностью до

e= 0,001:

2.1. *методом половинного деления;

2.2. *методом Ньютона - Рафсона;

2.3. методом секущих;

2.4. конечно-разностным методом Ньютона;

2.5. *методом простой итерации;

2.6. *методом хорд и касательных

2.7. комбинированным методом Ньютона.

3. Результаты расчетов оформить таблично с кратким описанием каждого использованного метода: расчетные формулы, выбор начального приближения, критерий остановки и пр.

4. Из методов пункта 2 задание на лабораторную работу предусматривает обязательное использование 4-х методов, отмеченных звездочками, и одного из остальных методов по усмотрению студента.

нелинейный уравнение графический ньютон итерация

1. Решение уравнения графически:

2. Метод половинного деления

Расчетная формула: следующее значение x получается делением отрезка пополам.

Начальное приближение:

Критерий остановки:

<2 ; .

Таблица результатов

Метод половинного деления
k	ak	bk	xk	f(ak)	f(bk)	f(xk)	|bk-ak|	f(xk)*f(ak)	f(xk)*f(bk)	|bk-ak|<2ε
0	0	1,5	0,75	-2,070	4,305	-0,148	1,5	0,306360	-1,000000	-
1	0,75	1,5	1,125	-0,148	4,305	1,604	0,75	-0,237392	6,905220	-
2	0,75	1,125	0,938	-0,148	1,604	0,631	0,375	-0,093388	1,012120	-
3	0,75	0,938	0,844	-0,148	0,631	0,219	0,188	-0,032412	0,138190	-
4	0,75	0,844	0,797	-0,148	0,219	0,03	0,094	-0,004440	0,006570	-
5	0,75	0,797	0,774	-0,148	0,03	-0,058	0,047	0,008584	-0,001740	-
6	0,774	0,797	0,786	-0,058	0,03	-0,012	0,023	0,000696	-0,000360	-
7	0,786	0,797	0,792	-0,012	0,03	0,011	0,011	-0,000132	0,000330	-
8	0,786	0,792	0,789	-0,012	0,011	-0,001	0,006	0,000012	-0,000010	-
9	0,789	0,792	0,791	-0,001	0,011	0,007	0,003	-0,000007	0,000080	-
10	0,789	0,791	0,790	-0,001	0,007	0,003	0,002	-0,000003	0,000020	-
11	0,789	0,790	0,790	-0,001	0,003	0,003	0,001	+

3. Метод Ньютона – Рафсона

Расчетная формула:

, где

Начальное приближение:

.

Критерий остановки: |f(x_k+1)-f(x_k)|<ε;

.

Таблица результатов:

Метод Ньютона – Рафсона
k	xk	f(xk)	f'(xk)	|f(xk+1)-f(xk)|<ε
0	0,75	-0,1481	3,688	-
1	0,79	0,003	3,872	-
2	0,789	-0,0008	3,868	+

4. Метод Ньютона – Рассела

Расчетная формула:

Начальное приближение: : x = 0,75

Критерий остановки: |f(x_k+1)-f(x_k)|<ε,

.

Таблица результатов:

Метод Ньютона – Рассела
k	xk	h	xk+h	f(xk)	f(xk+h)	|f(xk+1)-f(xk)|<ε
0	0,75	1	1,75	-0,1481	6,789	-
1	0,771	1	1,771	-0,0697	7,027	-
2	0,781	1	1,781	-0,0316	7,141	-
3	0,785	1	1,785	-0,0163	7,187	-
4	0,787	1	1,787	-0,0086	7,211	-
5	0,788	1	1,788	-0,0047	7,222	-
6	0,789	1	1,789	-0,0008	7,234	-
7	0,789	1	1,789	-0,0008	7,234	+

5. Метод простой итерации

Расчетная формула:. x

= (x ), где (x)=x - kf(x), k=0.11

Начальное приближение: x= 0,75

Критерий остановки: |x_k+1-x_k|≤ε;

.

Таблица результатов

Метод простой итерации
k	xk	φ(xk)	|xk+1-xk|≤ε
0	0,5	0,604	-
1	0,604	0,675	-
2	0,675	0,720	-
3	0,720	0,748	-
4	0,748	0,765	-
5	0,765	0,775	-
6	0,775	0,781	-
7	0,781	0,784	-
8	0,784	0,786	-
9	0,786	0,787	-
10	0,787	0,788	-
11	0,788	0,789	-
12	0,789	0,789	+

6. Метод хорд и касательных

Расчетная формула:

,

,где .

Начальное приближение:

,

Критерий остановки:

; .

Таблица результатов:

Метод хорд и касательных
k	ak	bk	f(ak)	f(bk)	f'(ak)	f'(bk)	f''(ak)	f''(bk)	f(ak) *f''(ak)	f(bk) *f''(bk)	|bk-ak|<2ε
0	0	1,5	-2,070	4,305	2	8,75	0	9	0	38,745	-
1	0,487	1,022	-0,980	1,041	2,712	5,133	2,922	6,132	-2,86	6,383	-
2	0,746	0,852	-0,163	0,252	3,67	4,178	4,476	5,112	-0,73	1,288	-
3	0,788	0,803	-0,005	0,054	3,863	3,934	4,728	4,818	-0,02	0,26	-
4	0,789	0,792	-0,001	0,011	3,868	3,882	4,734	4,752	-0,01	0,052	-
5	0,789	0,79	-0,001	0,003	3,868	3,872	4,734	4,74	-0,01	0,014	+

Вывод

Название метода	Вычислительная сложность		Сложностьреализации	Глобальнаясходимость	Скоростьсходимости
	h	Произв.
Метод Ньютона-Рафсона	-	+	+++	-	квадратичная
Метод половинного деления	-	-	+	+	линейная
Метод простой итерации	-	-	+	-	линейная
Конечно-разностный метод	+	-	++	-	сверхлинейная (при хорошем выборе h)
Метод секущих	-	+	++	-	сверхлинейная
Метод хорд и касательных	-	+	+++	квадратичная
Метод хорд	-	+	+++	-	Сначала лин., потом сверхлин.