Теоретический анализ модели комплексного числа (стр. 3 из 5)
Возьмем число
. Так как К – подполе, то вычитание и деление чисел из К снова принадлежат К. Следовательно 
. По тем же соображениям заключаем, что 
при любых а и b, т.е. К=С. Это значит, что собственных подполей, содержащих R, в С нет.Теорема 3.4. Поле комплексных чисел не упорядоченное поле, т.е. не существует такого отношения «>», при котором выполняются условия:
1) для всякого комплексного числа zлибо z>0, либо z<0, либо z=0;
2) если
и 
, то 
и 
;3) если
, то 
, и наоборот.Доказательство. При любом отношении «>» должно выполняться 1>0 (если предположить противное: 1<0, то по п.3 -1>0 и, согласно п.2, (-1)(-1)>0 или 1>0, что противоречит предположению 1<0).
Предположим, что для комплексных чисел существует такое отношение «>», при котором поле С будет упорядоченным полем. Возьмем
. Так как 
, то 
, либо 
.Рассмотрим
. Тогда, согласно п.2, 
или -1>0. Получили противоречие.Пусть
. Тогда, согласно п.3, 
, откуда, согласно п.3, 
или 
. Получили противоречие. Предположив, что в поле комплексных чисел существует такое отношение «>», при котором поле С становится упорядоченным, мы установили, что для 
и 
нельзя определить, в каком они находятся отношении. Следовательно, поле комплексных чисел невозможно расположить никаким отношением «>».§4. Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел
Теорема 4.1. Пусть
и 
— системы комплексных чисел. Тогда существует изоморфное отображение f системы 
на 
.Доказательство. Прежде всего условливаемся в целях краткости пользоваться одинаковыми знаками операций в С' и R', а также в С" и R". Далее, условливаемся элементы из С' снабжать одним штрихом:
, а элементы из С" двумя: 
Поскольку любые поля действительных чисел изоморфны, существует взаимно-однозначное отображение φ множества R' на R" такое, что:1)
;2)
.Определим однозначное отображение f множества Cʹв С" следующим условием:
.Нетрудно убедиться в том, что f — взаимно-однозначное отображение Сʹна С".
Пусть
. Имеем 
.Аналогично проверяется и условие
.§5. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел
Теорема 5.1. Аксиоматическая теория комплексных чисел непротиворечива относительно аксиоматической теории действительных чисел.
Доказательство. Мы укажем модель данной теории. Пусть
— поле действительных чисел. Рассмотрим множество Р пар 
действительных чисел и определим на Р бинарные операции Å и 8 (сложение и умножение) следующими условиями: 
.Нам известно, что
— поле. Выберем в Р подмножество R0 пар вида (а, 0). Сопоставим с каждым действительным числом а пару 
. Легко видеть, что φ — взаимно-однозначное отображение Rна R0. Далее, имеем: 
.Таким образом, φ — изоморфное отображение
на 
Следовательно: а) 
— поле действительных чисел;б) поле
— расширение поля .Заметим также, что (1, 0) и (0,0) — единица и нуль поля
>. Полагаем 
. Имеем 
.Итак, на системе
выполняются первые 15 аксиом нашей теории. Пусть, наконец, М — подмножество Р такое, что:а)
;б)
;в)
;г)
.Докажем, что в таком случае любой элемент множества Р принадлежит множеству М. В самом деле, имеем
.Теорема доказана.
Построение моделей систем комплексных чисел способствовало лучшему пониманию их природы.
Пусть М – множество матриц второго порядка над полем действительных чисел вида
. Множеству М принадлежит: нулевая матрица 0, единичная матрица Е и матрица I: 
.Проверим, что множество М замкнуто относительно сложения и умножения матриц, т.е. что сумма и произведение матриц принадлежат М:
(1)Легко проверить, что умножение матриц коммутативно. Так как для матрицы
определитель 
, то существует обратная матрица 
и, следовательно, в М осуществляется деление. Так что множество матриц из М образует поле.Матрицу
можно представить суммой
,т.е.
.Из (1) следует правила сложения и умножения:
(2)Установим взаимно-однозначное соответствие между комплексными числами
и матрицами 
.