Теоретический анализ модели комплексного числа (стр. 4 из 5)
Из (2) вытекает, что соответствие сохраняется при выполнении арифметических операций. Следовательно, поле комплексных чисел изоморфно М; т.е. множество М является моделью поля комплексных чисел.
Представим матрицы
в виде 
, где 
.Так как
, то существует такой угол 
, что 
. Отсюда 
.Известно, что такие матрицы определяют последовательное выполнение поворота плоскости вокруг начала координат и растяжение плоскости с центром в начале координат с коэффициентом растяжения ρ. Таким образом, получено истолкование комплексного числа как хорошо известное преобразование плоскости.
Рассмотрим еще одну модель. Пусть М – множество многочленов
одного переменного над полем действительных чисел. Множество М есть коммутативное кольцо. Будем говорить, что два многочлена 
и 
находятся в отношении (обозначим 
), если 
делится на многочлен 
. Очевидно, что тогда и только тогда, когда равны остатки от деления 
на . Отмечу, что остатки будут многочлены 
первой степени.Теорема 6.1. Если
и 
, то 
и 
.Доказательство. Преобразуем
. Каждая скобка делится на , следовательно, сумма делится на . Таким образом, . Аналогично доказывается для суммы.Указанное отношение является отношением эквивалентности, ибо выполняются свойства:
1) рефлексивности:
;2) симметричности: если
, то 
;3) транзитивности: если
и 
, то .Отсюда следует, что кольцо многочленов распадается на непересекающиеся классы эквивалентных многочленов. Все многочлены одного класса имеют равные остатки от деления на
, т.е. остаток (многочлена ) является характеристикой класса. Определим множество К, элементами и которого являются классы эквивалентных многочленов.Сумма
и произведение 
определяются следующим образом. Выбирают любые два многочлена 
, 
. Вычисляют 
и 
и находят классы, которым принадлежат сумма и произведение. Пусть 
. Тогда полагают 
. Согласно теореме 1, сумма и произведение не зависят от выбора представителей 
. Поэтому в качестве представителя будем всегда брать многочлен (единственный для данного класса) первой степени. Итак, множество К состоит только из многочленов первой степени.Пусть
. Произведение 
. Найдем класс, которому принадлежит произведение, т.е. остаток от деления его на . Очевидно, 
, и остаток равен 
.Следовательно, произведение
вычисляется по правилу 
.Сумма
.Тем самым показано, что взаимно-однозначное соответствие между комплексными числами
и элементами 
множества К устанавливает их изоморфизм. Итак, множество К есть поле комплексных чисел. Многочлен х играет роль мнимой единицы i и является решением уравнения 
. Разберем несколько примеров моделей комплексных чисел.
№1.
Пусть М – множество всех матриц второго порядка над полем действительных чисел вида
. Докажите, что множество М относительно операций сложения и умножения матриц изоморфно полю всех комплексных чисел С.Решение:
комплексный действительный число матрица
– отображение. 
- биектция 
сохраняет операцию «+» 
– сохраняет операцию « 
». Значит операции «+» и « » биективно 
№2.
В множестве R×R определены операции: а)
; b) 
. Докажите, что алгебра <R×R, Å, 
> изоморфна полю комплексных чисел. Укажите в этой алгебре образ мнимой единицы и элементы, обратный к (a,b).Решение:
a)
;