Теоретический анализ модели комплексного числа (стр. 5 из 5)

b)

Доказать:

изоморфна полю , a,bϵR

Доказательство:

.

????

№3

Пусть M=R[x] – кольцо многочленов от одной неизвестной над полем R. На М определим отношение

дают одинаковые остатки при делении на многочлен . Докажите, что ρ – конгруэнция относительно сложения и умножения многочленов и фактор-кольцо <M/ρ, +, · > изоморфно полю комплексных чисел.

Решение:

М=R[x]

дают одинаковые остатки при делении на многочлен

Пусть

в отношение .

.

, где

,где

При сложение у нас получится одинаково

разделив на

Получим

№4.

Пусть Т=R×R×R – множество троек действительных чисел, на котором определены операции Å и 8 и бинарное отношение ρ:

,

,

.

Докажите: алгебра <T,Å, 8> - коммутативное кольцо;

1.

коммутативность выполняется

2.

ассоциативность выполняется

, - нейтральный элемент

, – симметричный элемент

Дистрибутивность

1)

2)

. Дистрибутивность выполняется, т. к. (1)=(2) – доказано.

Заключение

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле – это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней. Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и естественных науках.

Что же такое модель комплексного числа?

Модель системы аксиом – это какой-либо математических объект, который отвечает данной системе аксиом. Истинность системы аксиом можно доказать, только построив модель в рамках другой системы аксиом, которая считается «истинной». Кроме того, модель позволяет наглядно продемонстрировать некоторые особенности данной аксиоматической теории.

И так модель комплексного числа это система аксиом применимых к данному комплексному числу, которую нужно доказать с помощью определенных операций.

Список используемой литературы

1. Блох Ш.А. Числовые системы. – Минск: Высшая школа, 1982.

2. Нечаев В. И. Числовые системы. – М.: Просвещение, 1975.

3. http://kvant.mirror1.mccme.ru/1982/03/kompleksnye_chisla.htm - Понтрягин Л., Комплексные числа. - журнал Квант №3, 1983. Электронная версия

4. http://ru.wikipedia.org/wiki/ - «Википедия» электронная энциклопедия

5. Феферман С., Числовые системы. – М.: Наука, 1971.

6. Ларин С. В., Числовые системы. – М.: Академия, 2001.

7. Reslib.com/book/Sbornik_zadach_po_algebre_i_teorii_chisel. – сборник задач по алгебре и теории чисел.