Теоретический анализ модели комплексного числа (стр. 1 из 5)
Введение.
§1. Система комплексных чисел
§2. Свойства комплексных чисел
§3. Полем комплексных чисел.
§4. Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел.
§5. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел
§6. Модели комплексных чисел.
Примеры.
Заключение
Список используемой литературы
Из курса математики известно, что отрицательные числа введены прежде всего для того, чтобы операция вычитания, обратная к операции сложения, была всегда возможна. По аналогичной причине в математике появились комплексные числа. Если рассматривать только действительные числа, то операция извлечения квадратного корня, обратная к операции возведения в квадрат, не всегда возможна, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Этого, однако, недостаточно, чтобы заводить в математике новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречается корень квадратный из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему корень квадратный из отрицательного числа. В XVI веке Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, что именно в том случае, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается корень квадратный из отрицательного числа. Обнаружилось таким образом, что производя вычисления с выражениями, содержащими корень квадратный из отрицательного числа, можно получить вполне понятные результаты. Поэтому эти корни стали употреблять в математике. Назвали их мнимыми числами — тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам на грани XVIII—XIX столетий дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал им геометрическую интерпретацию и, что самое главное, доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный или комплексный корень. Комплексным числом называется всякая упорядоченная пара действительных чисел
. Два комплексных числа и 
равны тогда и только тогда, когда 
. Рассмотрим комплексны числа более подробно. И найдем модели комплексных чисел. В поле действительных чисел не всегда осуществима операция извлечения корня: не существует корень четной степени из отрицательного числа. Отсюда возникает задача дальнейшего расширения поля действительных чисел с целью получения такого множества чисел, в котором уравнение
имело бы решение. Такое минимальное требование задачи расширения поля действительных чисел оправдывается тем, что при ее осуществлении становятся разрешимыми любые уравнения вида 
.Полем комплексных чисел называется минимальное поле С, содержащее поле R действительных чисел, т.е. множество С, обладающее свойствами:
1) С содержит поле действительных чисел, т.е. в С содержится такое подмножество R’, что
;2) C – поле;
3) в С разрешимо уравнение
(целевое требование);4) С – минимальное поле, т.е. не содержит никакого подполя, отличного от него самого и обладающего свойствами 1 – 3.
Элементы поля С – комплексные числа.
Под системой комплексных чисел понимают минимальное поле, которое является расширением поля действительных чисел и в котором есть элемент iс условием i+ 1 = 0. В качестве первичных принимают следующие термины:
а) С — множество, его элементы называются комплексными числами;
б) +, • —сложение и умножение — бинарные операции на С;
в) 0, 1 и i — элементы С;
г) R— подмножество С, его элементы называются действительными числами;
д) Å и 8 — сложение и умножение — бинарные операции на R.
Для построения системы комплексных чисел воспользуемся исходным элементом – парой (a,b) действительных чисел. В процессе построения будут определены различные операции для таких пар.
Аксиомы разделяются на четыре группы и могут быть сформулированы так:
А
СI.
;СII.
;СIII.
;CIV.
;CV.
;CVI.
;CVII.
;СVIII.
;CIX.
;СХ.
;СХI.
.Б
СХII.
- поле действительных чисел;CХIII. RÌC;
CХIV.
;CХV.
.В
CXVI.
.Г
CXVII. (аксиома минимальности). Любое подмножество М множества С совпадает с С, если оно удовлетворяет следующим четырем условиям:
а)
;б)
;в)
;г)
.§2. Свойства комплексных чисел
Мы предполагаем, что
— система комплексных чисел. Таким образом, для этой системы выполнены все названные в предыдущем разделе аксиомы.Теорема 2.1. Всякое комплексное число
можно представить и только одним способом в виде 
.Доказательство. Предположим сначала, что
для некоторых действительных чисел a, b, a1, b1. Поскольку 
— поле, то 
. Если 
, то 
.А это не может быть в силу теоремы о том, что в линейно упорядоченном кольце квадрат любого не равного нулю элемента положителен. Возможность представления легко следует из аксиомы минимальности.
Определение 2.1. Суммой комплексных чисел (a,bi) и (c,di) называется комплексное число
.Сумму обозначают знаком «плюс». Поэтому определение можно записать так:
.Так как сложение комплексных чисел сводится к сложению действительных чисел, то сложение комплексных чисел всегда выполнимо и однозначно.
Теорема 2.2. Сложение комплексных чисел коммутативно и ассоциативно.
Доказательство. Проведем для ассоциативного закона. Вычислим
. С другой стороны, 
. Следовательно, 
.Комплексное число
является нулем, ибо для любого комплексного числа 
справедливо 
.Обычным образом, как, например, для рациональных чисел, доказывается единственность нуля.
Для всякого комплексного числа (a,b) существует противоположное ему комплексное число, обозначаемое
. Проверим, что 
. В самом деле, 
. Единственность противоположного число доказывается обычным образом.Теорема 2.3. Вычитание комплексных чисел всегда выполнимо и однозначно.
Доказательство. Проверим, что
. Для этого вычислим сумму 
.