Уравнение Дирака в квантовой теории (стр. 3 из 7)

(1.24)

С помощью

-матриц уравнение (1.21) записывается в виде

(1.25)

где снова использовано соглашение о суммировании. Уравнение (1.25) и является ковариантной формой уравнения Дирака, в которой пространственные и временные производные входят равноправно.

Для упрощения полученного уравнения введем обозначения. Обозначим при помощи

величину

(1.26)

где матрицы

определяются согласно

(1.27)

С помощью этого обозначения и в естественной системе единиц уравнение Дирака записывается в виде

(1.28)

Где

(1.29)

Ток и плотность можно записать с помощью матриц

следующим образом. Умножая равенство (1.23) на матрицу слева, находим , а поэтому ток

(1.14)

примет следующий вид

(1.30)

С помощью "сопряженной" волновой функции

, определенно согласно

(1.31)

выражение для тока записывается в виде

(1.32)

Аналогично через матрицы

записывается и плотность

(1.33)

Уравнение для сопряженной функции

получают из уравнения (1.8), вставляя в каждом члене справа от множитель и используя затем соотношения (1.11), (1.12) и (1.23). В естественной системе единиц это уравнение запишется так:

(1.34)

2. Матрица Дирака. Свойства матриц Дирака

Матрицы

образуют совокупность гиперкомплексных чисел, удовлетворяющих перестановочным соотношениям .

Рассмотрим 16 элементов:

Все другие произведения матриц

с помощью перестановочных соотношений могут быть сведены к одной из шестнадцати. Множитель i вставлен для того, чтобы квадрат каждого элемента был равен +1. Обозначим элементы в выписанном порядке при помощи (l=1, 2, …,16). Замечаем, что с точностью до множителей или произведение любых двух элементов всегда равно третьему. Для каждого элемента , за исключением , всегда можно найти такой элемент , что . Это утверждение мы докажем, но для этого укажем элемент для каждого . Так, для l=2, …,5, т.е. для элементов второй строки списка, ; в случае третьей строки, например, элементу соответствует , так как ; для всей четвертой строки , а для пятой в качестве можно выбрать, например, . Отсюда следует, что след любой матрицы с равен нулю, так как

Шестнадцать элементов

линейно независимы, другими словами, равенство справедливо только тогда, когда все .

Докажем. Вычисляя след от

, получим . Аналогично, последовательно умножая уравнение на каждую из и вычисляя след, получаем, что , что и требовалось доказать. Отсюда следует, что гиперкомплексные числа нельзя представить матрицами размерности, меньшей , так как при меньшей размерности не существует 16 линейно независимых матриц. Обратно, можно представить матрицами, размерностью , потому что среди этих матриц имеется ровно 16 линейно независимых (так как число элементов матрицы равно 16). Это представление (как и все ему эквивалентные) оказывается неприводимым. Любое другое представление может быть приведено к виду

где

– матрицы размерности .

Из линейной независимости

следует, что всякая матрица X может быть записана в виде

(2.1)

Где

(2.2)

Так как

-матрицы неприводимы, то по лемме Шура следует, что любая матрица, коммутирующая со всеми матрицами , кратна единичной матрице.

На самом деле. Пусть X будет матрицей, коммутирующей со всеми матрицами

, а следовательно, и со всеми . Представим X в виде

(2.3)

Пусть

такая матрица, что . По предположению, , а потом, умножая (2.3) слева и справа на , получаем