Задача о коммивояжере и ее обобщения (стр. 1 из 5)
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
(ГОУВПО «АмГУ»)
Факультет математики и информатики
Кафедра математического анализа и моделирования
КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему: «Задача о коммивояжере и ее обобщения»
по дисциплине «Вариационное исчисление и методы оптимизации»
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Постановка задачи
2 Эвристические методы
2.1 Алгоритм Борувки
2.2 Алгоритм Крускала
2.3 Алгоритм Прима
2.4 Вывод
3 Генетический алгоритм
4 NP-полная задача
5 Метод ветвей и границ
6 Практическое применение задачи коммивояжер
Заключение
Библиографический список
ВВЕДЕНИЕ
В 1859 г. Сэр Вильям Гамильтон, знаменитый математик, давший миру теорию комплексного числа и кватерниона, предложил детскую головоломку, в которой предлагалось совершить «круговое путешествие» по 20 городам, расположенных в различных частях земного шара.
Гамильтонова задача о путешественнике нередко преобразуется в задачу о коммивояжере. Коммивояжер – не свободно путешествующий турист, а деловой человек, ограниченный временными, денежными или какими-либо другими ресурсами. Гамильтонова задача может стать задачей о коммивояжере, если каждое из ребер снабдить числовой характеристикой. Это может быть километраж, время на дорогу, стоимость билета, расход горючего и т.д. Таким образом, условные характеристики дадут числовой ряд, элементы которого могут быть распределены между ребрами как угодно.
Задача о коммивояжере относится к классу NP-трудных задач. Методы решения задачи о коммивояжере различны. В данной курсовой кратко рассказывается только о некоторых наиболее известных.
К эвристическим методам решения задачи коммивояжёра следует отнести «жадный» алгоритм, на каждом шаге выбирающий ребро наименьшей стоимости из множества рёбер, не нарушающих корректности решения. Эти методы имеют большую погрешность. Хорошо исследована область генетических алгоритмов, показавших свою эффективность для данной задачи, но они довольно громоздки. Метод перебора прост, но только лишь при небольшом количестве итераций.
И наиболее удобным мне кажется метод ветвей и границ. Его можно применять и при большом количестве городов.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рис.1
Предположим, что бродячий торговец должен, покинув город, которому присвоим номер 1, объехать еще N– 1 городов и вернутся снова в город номер 1. В его распоряжении есть дороги, соединяющие эти города. Он должен выбрать свой маршрут – порядок посещения городов так, чтобы путь, который ему придется пройти, был как можно короче. Основное условие этой задачи состоит в том, что коммивояжер не имеет права возвращаться снова в этот город, в котором он однажды уже побывал. Это условие будем называть условием (α). Мы считаем, что расстояние между двумя городами – функция f(xi, xj) – определено. Разумеется, функция f(xi, xj) может означать не только расстояние, но, например, время или издержки в пути и т.д. поэтому в общем случае
f(xi, xj) ≠ f(xj, xi),
а функции f(xi, xi) естественно приписать значение ∞. Длина l пути Sопределяется формулой
(1.1)Сумма в выражении (1) распространена по всем индексам i и j, удовлетворяющим условию (α), т.е. условию, что каждый из индексов i и jвходит в выражение (1) один и только один раз. Функция l = l(x1, …, xN) является, таким образом, аддитивной – она представима в виде суммы слагаемых, однако сама задача – задача отыскания минимума l – в силу ограничения (α) не является аддитивной и не удовлетворяет принципу оптимальности.
Рассмотрим снова плоскость t, x, где t – дискретный аргумент, принимающий значения 0,1, 2, …, N, соответствующие этапам путешествия торговца. Значит t = 0 соответствует его начальному положению в городе номер 1, t = 1 – переходу из города номер 1 в город, который он выбрал первым для посещения, и т.д., t = N означает последний этап его путешествия – возвращение в город номер 1. Аргумент x теперь также принимает дискретные значения 1,2, …, N(Рисунок 1.1). Соединим точку (0, 1) с точками (1,1), (1, 2), …(1, N) и длинам отрезков, соединяющих эти точки, припишем значения f(x1,xj). Далее точки (1, s) – узлы, лежащие на первой вертикали, мы соединим со всеми уздами второй вертикали, длинам отрезков мы припишем значения f(xs, xk) и т.д. точки (N-1, s) соединим с точкой (N,1).
В результате мы построили некоторый граф, каждая ломанная которого, соединяющая точку (0,1) сточкой (N,1), описывает путь коммивояжера. Нашу задачу мы можем теперь сформулировать следующим образом. Среди всех ломанных, принадлежащих этому графу и соединяющих точки (0,1) и (N,1) и удовлетворяющих условию (α), найти ломанную кратчайшей длины. Условие (α) состоит теперь в том, что искомая ломанная пересекает (в узле) каждую из прямых x = i один и только один раз. Таким образом, задача о коммивояжере формулируется более привычным для нас языком.
Рассмотрим узел P, лежащий на третьей вертикали (Рисунок 1.2). Если бы условие (α) отсутствовало, то выбор траектории, которая соединяет точку P с точкой (N, 1), не зависел бы от того пути, который привел нас в точку P. В данном случае ситуация иная, и если два коммивояжера находятся в точке P, но один из них пришел в это состояние, двигаясь вдоль траектории, проходящей через точку Q, а второй через точку R, то их состояния существенно отличаются друг от друга.
Коммивояжер, который двигался по второй траектории , уже побывал в городах номер 2 и номер 5 и в будущем он уже не имеет права снова заезжать в эти города. Что касается коммивояжера, который двигался вдоль первой траектории, то он побывал в городах номер 3 и номер 6; он не имеет права возвращаться в эти города, но зато он еще обязан посетить города номер 2 и номер 5 и т. Д.
Поскольку функция f(xi, xj) определена на конечном множестве точек, то и функция l(х1,…,xN) также определена на конечном множестве точек.
Следовательно, задача определения минимума функции l сводится к перебору некоторого конечного множества значений этой функции, и проблема носит чисто вычислительный характер. Однако именно вычислительные трудности здесь огромны.
Легко подсчитать, что число возможных вариантов (число значений функции l) равно (N — 1)!. Таким образом, непосредственно перебрать и сравнить между собой все возможные пути, по которым может следовать бродячий торговец, для достаточно большого количества городов практически невозможно.
Возникает проблема построения такого метода последовательного анализа вариантов, который выделял бы по возможности большое количество неперспективных вариантов и сводил задачу к перебору относительно небольшого количества «подозрительных» вариантов.
2. ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Решить задачу коммивояжера можно с помощью алгоритма Крускала. Также нам могут помочь алгоритмы Борувки и Прима, так называемые «жадные алгоритмы» Эти методы ускоряют разработку алгоритма по сравнению с методом полного перебора, однако не всегда дают оптимальное решение. Но немного расскажем о них.
Итак, имеется n городов, которые нужно обойти. Для этого достаточно проложить (n-1) путей между городами. Как соединить города так, чтобы суммарная стоимость путешествия была минимальна?
В общем случае, задачу можно сформулировать так. Пусть дан связный, неориентированный граф с весами на ребрах G(V, E), в котором V — множество вершин (городов), а E — множество их возможных попарных соединений (дороги). Пусть для каждого ребра (u,v) однозначно определено некоторое вещественное число w(u,v) — его вес (длина или стоимость пути). W(u,v) называется весовой функцией. Задача состоит в нахождении такого связного ациклического подграфа T ⊂ G, содержащего все вершины, что суммарный вес его ребер будет минимален.
Так как T связен и не содержит циклов, он является деревом и называется остовнымили покрывающим деревом. Остовное дерево T, у которого суммарный вес его ребер w(T) = ∑(u,v)∈T w(u,v) минимален, называется минимальным остовным или минимальным покрывающим деревом.
Так как рассматриваются только деревья, можно считать все ребра положительными (достаточно добавить к весу всех ребер некоторую относительно большую положительную константу). В противном случае, если стоимость соединения между двумя вершинами равна отрицательному числу, можно несколько раз параллельно соединить их для уменьшения суммарного веса остовного подграфа.
Также считаем, что для любой пары ребер их весовые характеристики будут различны. Это гарантирует уникальность построенного минимального остовного дерева. Для примера, если все ребра имеют единичный вес, то любое остовное дерево будет минимальным (с суммарным весом v-1, где v – количество вершин в графе).
Искомый остов строится постепенно. Алгоритм использует некоторый ациклический подграф А исходного графа G, который называется промежуточным остовным лесом. Изначально G состоит из n вершин-компонент, не соединенных друг с другом (n деревьев из одной вершины). На каждом шаге в A добавляется одно новое ребро. Граф A всегда является подграфом некоторого минимального остова. Очередное добавляемое ребро e=(u,v) выбирается так, чтобы не нарушить этого свойства: A∪ {e} тоже должно быть подграфом минимального. Такое ребро называется безопасным.