Избранные теоремы геометрии тетраэдра (стр. 2 из 9)
Доказательство.
Необходимость легко получить, если заметить, что точки А1, В1,С1, D1 лежат в одной плоскости (эта плоскость проходит через прямые А1С1 и В1D1, пересекающиеся в точке М), и применить теорему Менелая. Обратная теорема доказывается так же, так и обратная теореме Менелая в пространстве: нужно провести плоскость через точки А1, В1, С1 и доказать с помощью леммы, что эта плоскость пересечет ребро DA в точке D1.
§3. Свойства медиан и бимедиан тетраэдра
Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани (точкой пересечения медиан).
Теорема (Применение теоремы Менелая).
Медианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины.
Доказательство.
Проведем две медианы: DD1 и CC1 тетраэдра ABCD. Эти медианы пересекутся в точке F. CL – медиана грани ABC, DL – медиана грани ABD, а D1, C1 – центры тяжести грани ABC и ABD. По теореме Менелая:
и 
. Запишем теорему для треугольника DLD1: 
; 
=> 
Доказательство производится аналогично для любой другой пары медиан.Теорема (Применение теоремы Чевы).
Для начала дадим определения некоторых элементов тетраэдра. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер тетраэдра называется бимедианой. Бивысотами (по аналогии) называют общие перпендикуляры скрещивающихся ребер.
Теорема.
Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра.
Доказательство.
В треугольнике LDC отрезки DC и LF пересекутся в точке K. По теореме Чевы для этого треугольника:
, т.е. 
, CK=KD, LK – бимедиана.Замечание 1.
FL=FK. Теорема Менелая для треугольника DLK:
, 
, отсюда LF=FK.Замечание 2.
Точка F является центром тяжести тетраэдра.
, 
, значит 
.1.2 Различные виды тетраэдров
§1. Пифагоровы тетраэдры
Треугольник называется пифагоровым, если у него один угол прямой, а отношение любых сторон рационально (т.е применяя подобие, можно из него получить прямоугольный треугольник с целыми длинами сторон).
По аналогии с этим, тетраэдр называют пифагоровым, если его плоские углы при одной из вершин прямые, а отношение любых двух ребер рационально (из него с помощью подобия можно получить тетраэдр с прямыми плоскими углами при одной из вершин и целыми длинами ребер).
Попробуем вывести "Уравнение пифагоровых тетраэдров", т.е. такое уравнение с тремя неизвестными ξ, η, ζ, что любой пифагоров тетраэдр дает рациональное решение этого уравнения, и наоборот, любое рациональное решение уравнения дает пифагоров тетраэдр.
Сначала дадим способ описания всех пифагоровых треугольников.
На рисунке треугольник ОАВ - прямоугольный, длины его катетов обозначены через а и b, а дина гипотенузы - через р. Число
(1) условимся называть параметром прямоугольного треугольника ОАВ (или точнее, параметром "относительно катета а"). Используя соотношение р2=а2+b2, имеем: 
Из этих уравнений непосредственно получим формулы, выражающие отношения сторон прямоугольного треугольника через его параметр:
и 
(2).Из формул (1) и (2) непосредственно вытекает следующее утверждение: для того, чтобы прямоугольный треугольник был пифагоровым, необходимо и достаточно, чтобы число ξ было рациональным. В самом деле, если треугольник пифагоров, то из (1) следует, что ξ рационально. Обратно, если ξ рационально, то согласно (2) отношения сторон рациональны, то есть треугольник пифагоров.
Пусть теперь ОАВС - тетраэдр, у которого плоские углы при вершине О прямые. Длины ребер, исходящих из вершины О, обозначим через a,b,с, а длины оставшихся ребер через р, q, r.
Рассмотрим параметры трех прямоугольных треугольников ОАВ, ОВС, ОСА:
(3)Тогда по формулам (2) можно выразить отношения сторон этих прямоугольных треугольников через их параметры:
(4), 
(5).Из (4) непосредственно вытекает, что параметры ξ, η, ζ, удовлетворяют соотношению
(6). Это и есть общее уравнение пифагоровых тетраэдров.Из формул (3) - (5) непосредственно вытекает следующее утверждение: для того чтобы тетраэдр ОАВС с прямыми плоскими углами при вершине О был пифагоровым, необходимо и достаточно, чтобы параметры ξ, η, ζ (удовлетворяющие уравнению (6)) были рациональными.
Продолжая аналогию пифагорова треугольника с пифагоровым тетраэдром, попробуем сформулировать и доказать пространственное обобщение теоремы Пифагора для прямоугольных тетраэдров, которая, очевидно, будет верна и для пифагоровых тетраэдров. В этом нам поможет следующая лемма.
Лемма 1.
Если площадь многоугольника равна S, то площадь его проекции на плоскость π равна
, где φ - угол между плоскостью π и плоскостью многоугольника. 
Доказательство.
Утверждение леммы очевидно для треугольника, одна сторона которого параллельна линии пересечения плоскости π с плоскостью многоугольника. В самом деле, длина этой стороны при проекции не изменяется, а длина высоты, опущенной на нее при проекции, изменяется в cosφ раз.
Докажем теперь, что любой многогранник можно разделить на треугольники указанного вида.
Проведем для этого через все вершины многоугольника прямые, параллельные линии пересечения плоскостей, многоугольник разрежется при этом на треугольники и трапеции. Остается разрезать каждую трапецию по любой из ее диагоналей.
Теорема 1 (пространственная теорема Пифагора).
В прямоугольном тетраэдре АВСD, с плоскими углами при вершине D, сумма квадратов площадей трех его прямоугольных граней равна квадрату площади грани АВС.
Доказательство.
Пусть α - угол между плоскостями АВС и DВС, D' - проекция точки D на плоскость АВС. Тогда SΔDBC=СоsαSΔАBCи SΔD'BC=cоsαSΔDBC(по лемме 1), поэтому cоsα =
.SΔD'BC= . Аналогичные равенства можно получить и для треугольников D'АВ и D'АС. Складывая их и учитывая, что сумма площадей треугольников D'ВС, D'АС и D'АВ равна площади треугольника АВС, получаем требуемое.
Задача.
Пусть все плоские углы при вершине D прямые; a,b,c – длины ребер, выходящих из вершины D на плоскость ABC. Тогда
Доказательство.
По теореме Пифагора для прямоугольного тетраэдра
; 
.