Избранные теоремы геометрии тетраэдра (стр. 4 из 9)
Задача 5.
Доказать, что для ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, а также точки , делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере ( сфере 12 точек).
Доказательство.
Пусть точки О, М и Н - соответственно центр описанного шара, ценетр тяжести и ортоцентр ортоцентрического тетраэдра; М - середина отрезка ОН (см. задачу 2). Центры тяжести граней тетраэдра служат вершинами тетраэдра, гомотетичного, с центром гомотетиии в точке М и коэффициентом
, при этой гомотетии точка О перейдет в точку О1, расположенную на отрезке МН так, что 
, О1 будет центром сферы проходящей через центры тяжестей граней.С другой стороны, точки, делящие отрезки высот тетраэдра от вершин до ортоцентра в отношении 2:1, служат вершинами тетраэдра, гомотетичного данному с центром гомотетии в Н и коэффициентом
. При этой гомотетии точка О, как легко видеть, перейдет в ту же точку О1. Таким образом, восемь из двенадцати точек лежат на поверхности сферы с центром в О1 и радиусом, втрое меньшим, чем радиус сферы, описанной около тетраэдра.Докажем, что точки пересечения высот каждой грани лежат на поверхности той же сферы.
Пусть О`, Н` и М` - центр описанной окружности, точка пересечения высот и центр тяжести какой-либо грани. О` и Н` являются проекциями точек О и Н на плоскость этой грани, а отрезок М` делит отрезок О`Н` в отношении 1:2, считая от О`(известный планиметрический факт). Теперь легко убедиться (см. рис), что проекция О1 на плоскость этой грани - точка О`1 совпадает с серединой отрезка М`Н`, т.е. О1равноудалена от М` и Н`, что и требовалось.
§3. Каркасные тетраэдры
Каркасным называется тетраэдр, для которого существует сфера, касающаяся всех шести ребер тетраэдра. Не всякий тетраэдр каркасный. Например, легко понять, что нельзя построить сферу, касающуюся всех ребер равногранного тетраэдра, если его описанный параллелепипед "длинный".
Перечислим свойства каркасного тетраэдра.
(1) Существует сфера, касающаяся всех ребер тетраэдра.
(2) Суммы длин скрещивающихся ребер равны.
(3) Суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны.
(4) Окружности, вписанные в грани, попарно касаются.
(5) Все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные.
(6) Перпендикуляры, восстановленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
Докажем несколько свойств каркасного тераэдра.
Доказательство (2).
Пусть О - центр сферы, касающейся четырех ребер во внутренних точках. заметим теперь, что если из точки Х провести касательные ХР и ХQ к сфере с центром О, то точки Р и Q симметричны относительно плоскости, проходящей прямую ХО и середину отрезка PQ, а значит плоскости РОХ и QОХ образуют с плоскостью ХРQ равные углы.
Проведем 4 плоскости, проходящие через точку О и рассматриваемые ребра тетраэдра. Они разбивают каждый из рассматриваемых двугранных углов на два двугранных угла. Выше было показано, что полученные двугранные углы, прилегающие к одной грани тетраэдра, равны. Как в одну, так и в другую рассматриваемую сумму двугранных углов входит по одному полученному углу для каждой грани тетраэдра. Проводя аналогичные рассуждения для других пар скрещивающихся ребер, получим справедливость свойства (2).
Вспомним некоторые свойства описанного четырехугольника:
a) Плоский четырехугольник будет описанным тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны;
b) Если описанный четырехугольник разбить диагональю на два треугольника, то вписанные в треугольники окружности касаются
Учитывая эти свойства, легко доказать остальные свойства каркасного тетраэдра. Свойство (3) тетраэдра напрямую следует из свойства (b), а свойство (4) из свойства (a) и свойства (1) тетраэдра. Свойство (5) из свойства (3). Действительно, ведь окружности вписанные в грани тетраэдра, являются пересечениями его граней со сферой, касающейся ребер, откуда очевидно, что перпендикуляры, восстановленные в центрах вписанных в грани окружностей неминуемо пересекутся в центре этой сферы.
Задача 1.
Сфера касается ребер АВ, ВС, СD и DA тетраэдра АВСD в точках L, M, N, K, являющихся вершинами квадрата. Докажите, что если эта сфера касается ребра АС, то она касается и ребра BD.
Решение.
По условия КLMN - квадрат. Проведем через точки К, L, M, N плоскости, касающиеся сферы. Т.к все эти плоскости одинаково наклонены к плоскости КLMN, то они пересекаются в одной точке S, расположенной на прямой ОО1, где - центр сферы, а О1- центр квадрата. Эти плоскости пересекают поверхность квадрата KLMN по квадрату TUVW, серединами сторон которого являются точки К, L, M, N. В четырехгранном угле STUVW с вершиной S все плоские углы равны, а точки К, L, M, N лежат на биссектрисах его плоских углов, причем SK=SL=SM=SN. Следовательно,
SA=SC и SD=SB, а значит АК=АL=CM=CN и ВL=BM=DN=DK. По условию АС тоже касается шара, поэтому АC=АК+CN=2АК. А так как SK - биссектриса угла DSA, то DK:КА=DS:SA=DВ:АС. Из равенства АС=2АК следует теперь, что DВ=2DK. Пусть Р - середина отрезка DВ, тогда Р лежит на прямой SO. Треугольники DOK и DOP равны, т.к. DK=DP и 
DКO= DPO=90°. Поэтому ОР=ОК=R, где R - радиус сферы, а значит, DB тоже касается сферы.
§4. Равногранные тетраэдры
Равногранным называется тетраэдр, все грани которого равны. Чтобы представить себе равногранный тетраэдр, возьмем произвольный остроугольный треугольник из бумаги, и будем сгибать его по средним линиям. Тогда три вершины сойдутся в одну точку, а половинки сторон сомкнутся, образуя боковые ребра тетраэдра.
(0) Грани конгруэнтны.
(1) Скрещивающиеся ребра попарно равны.
(2) Трехгранные углы равны.
(3) Противолежащие двугранные углы равны.
(4) Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
(5) Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
(6) Развертка тетраэдра - треугольник или параллелограмм.
(7) Описанный параллелепипед прямоугольный.
(8) Тетраэдр имеет три оси симметрии.
(9) Общие перпендикуляры скрещивающихся ребер попарно
перпендикулярны.
(10) Средние линии попарно перпендикулярны.
(11) Периметры граней равны.
(12) Площади граней равны.
(13) Высоты тетраэдра равны.
(14) Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
(15) Радиусы описанных около граней окружностей равны.
(16) Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
(17) Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
(18) Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
(19) Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих
граней окружностей.
(20) Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов,
перпендикулярных к граням), равна нулю.
(21) Сумма всех двугранных углов равна нулю.
Практически все свойства равногранного тетраэдра следуют из его
определения, поэтому докажем только некоторые из них.
Доказательство (16).
Т.к. тетраэдр ABCD равногранный, то по свойству (1) AB=CD. Пусть точка К отрезка АВ, а точка L середина отрезка DC, отсюда отрезок KL бимедиана тетраэдра ABCD, откуда по свойствам медиан тетраэдра следует, что точка О - середина отрезка KL, является центром тяжести тетраэдра ABCD.
К тому же медианы тетраэдра пересекаются в центре тяжести, точке О, и делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от вершины. Далее, учитывая вышесказанное и свойство (14) равногранного тетраэдра, получаем следующее равенство отрезков АО=ВО=СО=DО, из которого и следует, что точка О является центром описанной сферы (по определению описанной около многогранника сферы).
Обратно. Пусть К и L - середины ребер АВ и СD соответственно, точка О - центр описанной сферы тетраэдра, т.е. середина отрезка KL. Т.к. О - центр описанной сферы тетраэдра, то треугольники AOB и COD - равнобедренные с равными боковыми сторонами и равными медианами OK и OL. Поэтому ΔAOB=ΔCOD. А значит AB=CD. Аналогично доказывается равенство других пар противоположных ребер, из чего по свойству (1) равногранного тетраэдра и будет следовать искомое.
Доказательство (17).
Рассмотрим биссектор двугранного угла при ребре AB, он разделит отрезок DC в отношении площадей граней ABD и ABC.
Т.к. тетраэдр ABCD равногранный, то по свойству (12) SΔABD=SΔABD=>DL=LС, откуда следует, что биссектор ABL содержит бимедиану KL. Применяя аналогичные рассуждения для остальных двугранных углов, и принимая во внимание тот факт, что биссекторы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной сферы, получаем, что эта точка неминуемо будет центром тяжести данного равногранного тетраэдра.