Избранные теоремы геометрии тетраэдра (стр. 5 из 9)
Обратно. Из того, что центр тяжести и центр вписанной сферы совпадают имеем следующее: DL=LC=>SABD=SADC. Доказывая подобным образом равновеликость всех граней и, применяя свойство (12) равногранного тетраэдра, получаем искомое.
Теперь докажем свойство (20). Для этого сначала нужно доказать одно из свойств произвольного тетраэдра.
тетраэдр теорема школьный учебник
Лемма 1.
Если длины векторов перпендикулярных к граням тетраэдра численно равны площадям соответствующих граней, то сумма этих векторов равна нулю.
Доказательство.
Пусть Х - точка внутр и многогранника, hi (i=1,2,3,4) - расстояние от нее до плоскости i-ой грани.
Разрежем многогранник на пирамиды с вершиной Х, основаниями которых служат его грани. Объем тетраэдра V равен сумме объемов этих пирамид, т.е. 3 V=∑hiSi, где Siплощадь i-ой грани. Пусть далее, ni- единичный вектор внешней нормали к i-ой грани, Mi - произвольная точка этой грани. Тогда hi =(ХMi, Sini), поэтому 3V=∑hiSi=∑(ХMi, Sini)=(ХО, Sini)+(ОMi, Sini)=(ХО, ∑Sini)+3V, где О - некоторая фиксированная точка тетраэдра, следовательно, ∑Sini=0.
Далее очевидно, что свойство (20) равногранного тетраэдра является частным случаем вышеуказанной леммы, где S1=S2=S3=S4=>n1=n2=n3=n4, и так как площади граней не равны нулю, получаем верное равенство n1+n2+n3+n4=0.
В заключение рассказа о равногранном тетраэдре приведем несколько задач на эту тему.
Задача 1.
Прямая, проходящая через центр масс тетраэдра и центр описанной около него сферы, пересекает ребра AB и CD. Докажите, что AC=BD и AD=BC.
Решение.
Центр масс тетраэдра лежит на прямой, соединяющей середины ребер АВ и СD.
Следовательно, на этой прямой лежит центр описанной сферы тетраэдра, а значит, указанная прямая перпендикулярна ребрам АВ и СD. Пусть С` и D` - проекции точек C и D на плоскость, проходящую через прямую АВ параллельно СD. Т.к. AC`BD` - параллелограмм (по построению), то АС=ВD и АD=ВС.
Задача 2.
Пусть h - высота равногранного тетраэдра, h1и h2- отрезки, на которые одна из высот грани делится точкой пересечения высот этой грани. Доказать, что h2=4h1h2; доказать также, что основание высоты тетраэдра и точка пересечения высот грани, на которую эта высота опущена, симметричны относительно центра окружности, описанной около этой грани.
Доказательство.
Пусть АВСD - данный тетраэдр, DH - его высота, DA1, DВ1, DС1- высоты граней, опущенные из вершины D на стороны ВС, СА и АВ.
Разрежем поверхность тетраэдра вдоль ребер DA, DB, DC, и сделаем развертку. Очевидно, что Н есть точка пересечения высот треугольника D1D2D3. Пусть F - точка пересечения высот треугольника ABC, АК - высота этого треугольника, АF=h1, FК=h2. Тогда D1Н=2h1, D1A1=h1-h2.
Значит, поскольку h - высота нашего тетраэдра, h2=DН2=DA2 - НA12= (h1+ h2)2 - (h1- h2)2=4h1h2.Пусть теперь М - центр тяжести треугольника ABC (он же центр тяжести треугольника D1D2D3), О - центр описанной около него окружности. Известно, что F, М и О лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причем М - между F и О, FM=2МО, С другой стороны, треугольник D1D2D3гомотетичен треугольнику АВС с центром в М и коэффициентом (-2), значит МН=2FM. Из этого следует, что ОН=FO.
Задача 3.
Доказать, что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек).
Доказательство.
Решая задачу 2, мы доказали, что центр описанной около тетраэдра сферы проецируется на каждую грань в середину отрезка, концами которого является основание высоты, опущенной на эту грань, и точка пересечения высот этой грани. А поскольку расстояние от центра описанной около тетраэдра сферы до грани равно
, где h - высота тетраэдра, центр описанной сферы удален от данных точек на расстояние 
, где а - расстояние между точкой пересечения высот и центром описанной около грани окружности.§5. Инцентрические тетраэдры
Отрезки, соединяющие центры тяжести граней тетраэдра с противоположными вершинами (медианы тетраэдра), всегда пересекаются в одной точке, эта точка - центр тяжести тетраэдра. Если в этом условии заменить центры тяжести граней на ортоцентры граней, то оно превратится в новое определение ортоцентрического тетраэдра. Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемых иногда инцентрами, мы получим определение нового класса тетраэдров - инцентрических.
Признаки класса инцентрических тетраэдров тоже довольно интересны.
(1) Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
(2) Биссектрисы углов двух граней, проведенному к общему ребру этих граней, имеют общее основание.
(3) Произведения длин противоположных ребер равны.
(4) Треугольник, образованный вторыми точками пересечения трех ребер, выходящих из одной вершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих ребер, является равносторонним.
Доказательство (2).
По свойству (1), если DF, BE, CF, AM - биссектрисы соответственных углов в треугольниках АВС и FBD, то отрезки КС и LD будут иметь общую точку I (см. рис). Если же прямые DK и СL не пересекаются в точке F, то, очевидно, КС и DL не пересекаются, чего быть не может (по определению инцентрического тетраэдра).
Доказательство (3).
Учитывая свойство (2) и свойство биссектрисы, получаем соотношения:
; 
.§6. Соразмерные тетраэдры
Соразмерными называются тетраэдры, у которых
(1) Бивысоты равны.
(2) Проекция тетраэдра на плоскость, перпендикулярную любой бимедиане, есть ромб.
(3) Грани описанного параллелепипеда равновелики.
(4) 4а2а12- (b2+b12-c2-c12)2=4b2b12- (c2+c12-a2-a12)2=4c2c12- (a2+a12-b2-b12)2, где а и а1, b и b1, с и с1 - длины противоположных ребер.
Для доказательства эквивалентности определений (1) - (4) достаточно заметить, что бивысоты тетраэдра равны высотам параллелограмма, являющегося его проекцией, упоминавшейся в свойстве (2), и высотам описанного параллелепипеда, и что квадрат площади параллелепипеда, содержащей, скажем, ребро с, равен
, а скалярное произведение 
выражается через ребра тетраэдра по формуле (4).Добавим сюда ещё два условия соразмерности:
(5) Для каждой пары противоположных ребер тетраэдра плоскости, проведенные через одно из них и середину второго, перпендикулярны.
(6) В описанный параллелепипед соразмерного тетраэдра можно вписать сферу.
§7. Правильные тетраэдры
Если ребра тетраэдра равны между собой, то равны между собой будут и трехгранные, и двугранные, и плоские углы. В таком случае тетраэдр называется правильным. Заметим также, что такой тетраэдр является и ортоцентрическим, и каркасным, и равногранным, и инцентрическим, и соразмерным.
Замечание 1.
Если тетраэдр является равногранным и принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, то он будет и правильным.
Замечание 2.
Тетраэдр является правильным, если он принадлежит к двум любым видам тетраэдров из перечисленных: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, равногранный.
Свойства правильного тетраэдра:
Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна 180º
(0) В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
(1) Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причем ребра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше ребер правильного тетраэдра
(2) Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
(3) Правильный тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.