Избранные теоремы геометрии тетраэдра (стр. 1 из 9)
Выпускная квалификационная работа
Избранные теоремы геометрии тетраэдра
Специальность / направление подготовки Математика
Специализация / профиль Математика - информатика
Содержание
Введение
Глава I. Виды тетраэдров и теоремы о тетраэдрах
1.1 Теоремы о тетраэдрах
§1. Теорема Менелая
§2. Теорема Чевы
§3. Свойства медиан и бимедиан тетраэдра
1.2 Различные виды тетраэдров.
§1. Пифагоровы тетраэдры
§2. Ортоцентрические тетраэдры
§3. Каркасные тетраэдры
§4. Равногранные тетраэдры
§5. Инцентрические тетраэдры
§6. Соразмерные тетраэдры
§7. Правильные тетраэдры
Глава II. Тетраэдр в курсе математики средней школы
§1. Сравнительная характеристика изложения темы «тетраэдр» в школьных учебниках
§2. Тестирование уровня развития пространственного мышления у учеников средней школы
Введение
Интерес к изучению тетраэдра возник у человечества с древних времен и не угасает до сих пор. Это связано не только с его красотой, но и с большой практической ценностью.
Тетраэдр является одним из основных фигур стереометрии, однако его изучение в курсе средней школы недостаточно подробно. В некоторых учебниках авторы избегают самой терминологии, предпочитая называть фигуру «треугольной пирамидой» (и рассматривают её именно в таком ключе), а об изучении различных видов тетраэдров зачастую и говорить не приходится.
Роль задач о тетраэдрах в математическом развитии школьников трудно переоценить. Они стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, способствуют развитию пространственного мышления, что особенно важно в процессе изучения стереометрии.
Изучению тетраэдра как школе, так и в вузах посвящено лишь небольшое количество занятий, поэтому целью дипломной работы является изучение различных видов тетраэдров, а также теорем, связанных с геометрией тетраэдра. В соответствии с целью сформулированы следующие задачи:
1. Собрать сведения о тетраэдре из различных источников и привести их в систему; разобрать доказательства теорем, связанных с тетраэдром;
2. Проанализировать методику изложения материала в различных школьных учебниках;
3. Разработать курс занятий о тетраэдре для средней школы.
В первой главе моей дипломной работы речь пойдёт о различных видах тетраэдра и некоторых теоремах, касающихся этой фигуры. Вторая глава посвящена анализу учебного материала для средней школы по заданной теме и разработке курса занятий.
Глава I. Виды тетраэдров и теоремы о тетраэдрах
1.1 Теоремы о тетраэдрах
§1. Теорема Менелая
Теорема Менелая для треугольника.
Пусть точки А1и С1 лежат на сторонах ВC и АC треугольника АВС, точка В1на продолжении стороны АС этого треугольника. Для того чтобы точки А1, В1, С1 лежали на одной прямой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
= 
= 
=1.Доказательство.
Сначала докажем необходимость. Пусть точки А1,В1,С1 лежат на прямой l и AA0=h1, CC0=h3- перпендикуляры, опущенные соответственно из точек А, В, С на прямую l. Из подобия треугольников АА0С1и ВВ0С1получаем
. Аналогично, рассматривая другие пары подобных треугольников, получаем 
; 
. Перемножая полученные пропорции, приходим к требуемому равенству. 
Теперь докажем достаточность. Пусть точки А1, В1, С1, лежащие на прямых ВС, АС, АВ таковы, что
. Докажем, что точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой.Проведем прямую А1В1и докажем, что точка С1 ей принадлежит. Предположим, что это не так. Сначала заметим, прямая А1В1не параллельна прямой АВ. Пусть Т - точка пересечения А1В1и АВ, тогда
. Из условия и равенства (1) следует, что 
. Так как точки Т и С1лежат вне отрезка АВ, их совпадение вытекает из следующей леммы.Лемма 1.
Пусть А и В две различные точки, тогда для любого k>0, k≠1 на прямой АВ существуют две точки U и V такие, что
, причем одна из этих точек принадлежит отрезку АВ, а другая лежит вне отрезка.Доказательство.
Введем на прямой АВ координаты, приняв точку А за начало координат. Пусть для определенности k>1, тогда координата искомой точки U, лежащей внутри отрезка АВ, удовлетворяет уравнению
, откуда 
.Точка V находится вне отрезка AB, из уравнения 
, откуда 
.Случай 0<k<1 отличается от рассмотренного лишь тем, что точку V следует искать левее точки А.Теорема Менелая допускает интересное стереометрическое обобщение.
Теорема Менелая для тетраэдра.
Если плоскость μ пересекает ребра АВ, ВС, CD и DA тетраэдра АВСD в точках А1, В1, С1, D1, то
(2).Обратно, если для четырех точек А1, В1, С1, D1,лежащих соответственно на ребрах АВ, ВС, СD, DA тетраэдра, выполнено равенство (2), то эти четыре точки лежат в одной плоскости.
Доказательство.
Пусть h1, h2, h3, h4- расстояния от точек А, В, С, D соответственно до плоскости μ, тогда
; 
; 
; 
.Осталось перемножить полученные отношения.
Для доказательства обратной теоремы построим плоскость А1, В1, С1. Пусть эта плоскость пересекает ребро DA в точке Т.
По доказанному
, а по условию , поэтому (и по лемме) точки Т и D1совпадают.Утверждение доказано.§2. Теорема Чевы
Теорема Чевы для треугольника.
Пусть точки А1, В1,С1лежат соответственно на сторонах ВС, АС и ВА треугольника АВС (см. рис). Для того чтобы отрезки АА1,ВВ1, СС1 пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
(3) (отрезки АА1, ВВ1, СС1иногда называют чевианами).Доказательство.
Необходимость. Пусть отрезки АА1, ВВ1, СС1пересекаются в точке М внутри треугольника АВС.
Обозначим через S1, S2, S3площади треугольников АМС, СМВ, АМВ, а через h1, h2 - расстояния от точек А и В до прямой МС. Тогда
аналогично 
, 
. Перемножив полученные пропорции, убеждаемся в справедливости теоремы.Достаточность. Пусть точки А1, В1, С1лежат на сторонах ВС, СА, АС треугольника, и выполнено соотношение (3), М - точка пересечения отрезков АА1и ВВ1, а отрезок СМ пересекает сторону АВ в точке Q. Тогда, по уже доказанному
, 
. Из леммы снова следует совпадение точек Q=C1. Достаточность доказана.Перейдем теперь к пространственному обобщению теоремы Чевы.
Теорема Чевы для тетраэдра.
Пусть М - точка внутри тетраэдра АВСD, а А1, В1, С1 и D1 - точки пересечения плоскостей СМD, AMD, АМВ и СМВ с ребрами АВ, ВC, СD и DA соответственно. Тогда
(4). Обратно: если для точек , то плоскости АВС, ВСD1 и DAB1проходят через одну точку.