Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора (стр. 3 из 3)

Якщо вектори базису

є власними векторами лінійного оператора , то в цьому базисі оператор задається діагональною матрицею. Навпаки, якщо в деякому базисі матриця оператора є діагональною, то всі вектори цього базису є власними векторами оператора .

Як бачимо, матриця оператора

в базисі, що складається з власних векторів цього оператора, має досить простий вигляд. Саме це і обумовлює важливість ролі власних векторів, а, отже, і одновимірних інваріантних підпросторів при вивченні лінійних операторів.

Виникає питання: як встановити, знаючи матрицю оператора

в деякому базисі, чи має цей оператор власні вектори, які утворюють базис простору тобто, чи можна оператор задати в деякому базисі діагональною матрицею?

Теорема. Якщо лінійний оператор

має простий спектр, то існує базис простору , в якому цей оператор задається діагональною матрицею.

Доведення. Дано:

– різні власні значення оператора , яким відповідають власні вектори , відповідно, тобто , і=1, 2,…, n.

Оскільки

, і , то – лінійно незалежні, а значить утворюють базис векторного простору . В цьому базисі оператор задається діагональною матрицею

вектор ортогональний інваріантний матриця

.

Теорему доведено.

Зведення матриці до діагонального вигляду

Нехай

квадратна матриця порядку з елементами з поля P.

Вважають, що матриця A зводиться до діагонального вигляду, якщо існує діагональна матриця, подібна матриці A.

Часто трапляється, що треба знати, чи зводиться квадратна матриця до діагонального вигляду. На основі попередніх результатів можна довести теорему, яка встановлює достатні умови звідності матриці до діагонального вигляду.

Теорема. Кожна квадратна матриця n-го порядку над полем Р, яка має в полі Р n різних характеристичних коренів, зводиться до діагонального вигляду, тобто подібна до діагональної матриці.

Доведення. Дано A – квадратна матриця n – гопорядку над полем P. Нехай

- різні характеристичні корені матриці і (i=1,2,… n).

Розглянемо векторний простір

над полем P. Матриця A в деякому базисі задає деякий лінійний оператор . Характеристичні корені є власними значеннями оператора , яким відповідають власні вектори цього оператора , . За властивістю власних векторів, які відповідають різним власним значенням вектори – лінійно незалежні, тому вони утворюють базис простору . В цьому базисі матриця лінійного оператора має вигляд .

i A подібні, бо вони задають один і той самий оператор в різних базисах. Діагональними елементами матриці є характеристично корені матриці A.

Знаходження діагональної матриці, подібної матриці A, називається зведенням матриці A до діагонального вигляду.

Приклад. Звести квадратну матрицю A до діагонального вигляду, якщо

.

Розв’язуємо характеристичне рівняння:

, . (Розв’язати самостійно)

Отже,

.