Алгебра и алгебраические системы (стр. 1 из 2)

Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.

п.1. Бинарные и n-местные операции.

Пусть

- непустое множество, то есть .

Определение. Бинарной операцией на множестве

называется отображение прямого произведения .

Другими словами: если каждой упорядоченной паре элементов множества

поставлен в соответствие единственный элемент из , то говорят, что задана бинарная операция на множестве .

Пример.

Пусть

- произвольные высказывания

: - бинарная операция на множестве высказываний.

Пусть

- произвольные множества

: - бинарная операция на множестве множеств.

Пусть

: - бинарная операция на множестве действительных чисел.

: - не является бинарной операцией на множестве , так как .

Если

- произвольная бинарная операция на множестве и паре ставится в соответствие элемент (то есть ), то вместо записи пишут , то есть имеем . Элемент называется композицией элементов .

Определение. Пусть

. Отображение называется - местной операцией на множестве . Число - ранг операции.

Определение. Нульместной операцией на множестве

называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число называется рангом нульместной операции.

Определение. Одноместные операции называются унарными операциями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множества

ставит в соответствие элемент из множества , то есть унарная операция – это отображение множества во множество .

Унарную операцию называют оператором.

Пример.

Пусть

- множество натуральных чисел

- унарная операция

- не является унарной операцией

На множестве высказываний операция

: - унарная операция

На множестве подмножеств универсального множества операция дополнения – унарная операция.

Определение. Отображение из множества

называется частичной - местной операцией на множестве , если область определения отображения не совпадает с .

Виды бинарных операций

Пусть

- бинарные операции на множестве .

Операция

- коммутативна на множестве .

Операция

- ассоциативна на множестве .

Операция

- дистрибутивна слева относительно операции .

Операция

дистрибутивна справа относительно операции .

Пример.

Операция

на множестве - коммутативна, ассоциативна.

Операция

на множестве - коммутативна, ассоциативна.

На множестве множеств операции

и дистрибутивны относительно друг друга.

На множестве функций композиция функций - ассоциативная операция, не является коммутативной операцией.

п.2. Понятие алгебры.

Определение. Алгебра

, где , - множество операций на .

Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что задано множество и заданы операции.

Пример.