Элементы сферической геометрии (стр. 2 из 3)

Рис.4

Таким же образом на сферу можно перенести и многие другие понятия планиметрии, в частности те, которые можно выразить через расстояния. Например, сферическая окружность – множество точек сферы, равноудаленных от заданной точки Р. Легко показать, что окружность лежит в плоскости, перпендикулярной диаметру сферы РР` (рис. 5), т.е. это обычная плоская окружность с центром на диаметре РР`. Но сферических центров у нее два: Р и Р`. Эти центры принято называть полюсами. Если обратиться к глобусу, то можно видеть, что идет речь именно о таких окружностях, как параллели, и сферическими центрами всех параллелей являются Северный и Южный полюса. Если диаметр  сферической окружности равен /2, то сферическая окружность превращается в сферическую прямую. (На глобусе – экватор). В этом случае такую окружность называют полярой каждой из точек Р и P`.

Рис.5

Одним из важнейших понятий в геометрии является равенство фигур. Фигуры считаются равными, если одну на другую можно отобразить таким образом (поворотом и переносом), что сохранятся расстояния. Это верно и для сферической геометрии.

Углы на сфере определяются следующим образом. При пересечении двух сферических прямых a и b на сфере образуются четыре сферических двуугольника, подобно тому, как две пересекающиеся прямые на плоскости разбивают ее на четыре плоских угла (рис. 6).

Рис.6

Каждому из двуугольников соответствует двугранный угол АОВ, образованный диаметральными плоскостями, содержащими a и b.

2.3. Сферический треугольник

Среди всех сферических многоугольников наибольший интерес представляет сферический треугольник. Три больших окружности, пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольников. Зная элементы (стороны и углы) одного из них, можно определить элементы всех остальных, поэтому рассматривают соотношения между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности. Стороны треугольника измеряются плоскими углами трехгранного угла ОАВС, углы треугольника – двугранными углами того же трехгранного угла[1] (рис. 7).

рис. 7

Многие свойства сферического треугольника (а они одновременно являются и свойствами трехгранных углов) почти полностью повторяют свойства обычного треугольника. Среди них – неравенство треугольника, которое на языке трехгранных углов гласит, что любой плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других. Или, например, три признака равенства треугольников. Все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере. Так, множество точек, равноудаленных от концов отрезка, будет и на сфере перпендикулярной к нему прямой, проходящей через его середину, откуда следует, что серединные перпендикуляры к сторонам сферического треугольника AВС имеют общую точку, точнее, две диаметрально противоположные общие точки Р и Р`, являющиеся полюсами его единственной описанной окружности (рис. 8). В стереометрии это означает, что около любого трёхгранного угла можно описать конус. Легко перенести на сферу и теорему о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.

рис. 8

Теоремы о пересечении высот и медиан также остаются верными, но их обычные доказательства в планиметрии используют параллельность, которой, на сфере нет, и потому проще доказать их заново, на языке стереометрии. Рис. 9 иллюстрирует доказательство сферической теоремы о медианах: плоскости, содержащие медианы сферического треугольника АВС, пересекают плоский треугольник с теми же вершинами по его обычным медианам, следовательно, все они содержат радиус сферы, проходящий через точку пересечения плоских медиан. Конец радиуса и будет общей точкой трех «сферических» медиан.

Рис. 9

Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости. Так, к известным трем случаям равенства прямолинейных треугольников добавляется еще и четвертый: два треугольника АВС и А`В`С` равны, если равны соответственно три угла А = А`, В = В`, С = С`. Таким образом, на сфере не существует подобных треугольников, более того, в сферической геометрии нет самого понятия подобия, т.к. не существует преобразований, изменяющих все расстояния в одинаковое (не равное 1) число раз. Эти особенности связаны с нарушением евклидовой аксиомы о параллельных прямых и также присущи геометрии Лобачевского. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными, таковы, например, треугольники АС`С и ВСС` (рис. 10).

рис. 10

Сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше 180. Разность А+В +С –  =  (измеряемая в радианах) – величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника. Площадь сферического треугольника: S = R2 где R – радиус сферы, а  – сферический избыток. Эта формула впервые была опубликована голландцем А.Жираром в 1629г. и названа его именем.

2.4. Координаты на сфере

Каждая точка на сфере определяется заданием двух чисел; эти числа (координаты) определяются следующим образом (рис. 11). Фиксируется некоторый большой круг QQ` (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра сферы PP`, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов PAP`, выходящих из полюса (первый меридиан). Большие полукруги, выходящие из P, называются меридианами, малые круги, параллельные экватору, такие, как LL`, – параллелями. В качестве одной из координат точки M на сфере принимается угол  = POM (высота точки), в качестве второй – угол  = AON между первым меридианом и меридианом, проходящим через точку M (долгота точки, отсчитываемая против часовой стрелки).

рис. 11

В географии (на глобусе) в качестве первого меридиана принято использовать Гринвичский меридиан, проходящий через главный зал Гринвичской обсерватории (Гринвич – городской округ Лондона), он разделяет Землю на Восточное и Западное полушария, соответственно и долгота бывает восточной либо западной и измеряется от 0 до 180° в обе стороны от Гринвича. А вместо высоты точки в географии принято использовать широту, т.е. угол NOM = 90° – , отсчитываемый от экватора. Т.к. экватор делит Землю на Северное и Южное полушария, то и широта бывает северной либо южной и изменяется от 0 до 90°. Сферические координаты с прямоугольными декартовыми координатами устанавливается следующими формулами: x = r sinсоsy = r sin sinz = r соs

2.5. Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия – раздел тригонометрии, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраическими тождествами тригонометрических функций применительно к сферическим треугольникам. Применяется для решения различных геодезических и астрономических задач.

Пусть А, В, С - углы и а, b, с - противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (рис.12 ). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами Сферическая тригонометрия :

cos а = cos b cos с + sin b sin с cos А,

cos A = - cos B cos С + sin B sin С cos a,

sin a cos B = cos b sin c - sin b cos с cos А,

sin А cos b = cos B sin C + sin B cos С cos a;

рис.12

В этих формулах стороны а, b, с измеряются соответствующими центральными углами.

Для прямоугольных сферических треугольников (А = 90`, а - гипотенуза, b, с- катеты) формулы Сферической тригонометрии упрощаются, например:

sin b = sin a sin В,

cos a = cos b cos c,

sin a cos B = cos b sin c.

Формулы Сферической тригонометрии позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

Рассмотренные элементы сферической геометрии дают нам обобщенное представление о данной области математической науки.

2.6. Применение сферической геометрии на практике

Сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, а также геодезических съемках больших поверхностях земли, когда становится необходимым учитывать ее шарообразность.

Заключение

Подводя итоги проделанной работе, необходимо отметить, что в данной работе удалось: охарактеризовать специфику сферической геометрии как области математики на основе исторических фактов, определить основные понятия сферической геометрии, рассмотреть особенности фигур, расположенных на сфере, ознакомиться с главными учеными исследуемых сферическую геометрию в своих работах. Изучая особенности сферической геометрии, производилось сравнение с планиметрией и стереометрией.