Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел (стр. 2 из 4)

п.3. Простейшие свойства кольца.

Пусть

- кольцо. Выпишем и проверим аксиомы кольца:

.

Доказательство.

- абелева группа, имеем

.

Доказательство.

- абелева группа, имеем .

, если , если .

Доказательство. По закону сокращения в группе, определенной на множестве

.

, если , если .

Доказательство. Следует из свойства 4 групп.

если , если .

Доказательство. Следует из 5 свойства групп.

.

Доказательство. Следует из 6 свойства групп.

.

Доказательство. Докажем, что

.

.

Доказательство. Докажем, что

рассмотрим сумму . Аналогично доказывается, что .

. Обозначение: .

(правый дистрибутивный закон), (левый дистрибутивный закон).

Доказательство. Правый дистрибутивный закон: левая часть равна

равна правой части. Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон.

.

Доказательство. Вычислим сумму

.

п.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Дано два кольца

и .

Определение. Гомоморфизмом кольца

в кольце называется функция и обладающая свойствами:

Другими словами, гомоморфизм колец – это отображения, сохраняющие все операции кольца. Если

- гомоморфизм кольца в , то - гомоморфизм абелевых групп в группу .

Теорема. Пусть

и - кольца и , обладающих свойствами: