п.3. Простейшие свойства кольца.
Пусть
- кольцо. Выпишем и проверим аксиомы кольца: .Доказательство.
- абелева группа, имеем .Доказательство.
- абелева группа, имеем . , если , если .Доказательство. По закону сокращения в группе, определенной на множестве
. , если , если .Доказательство. Следует из свойства 4 групп.
если , если .Доказательство. Следует из 5 свойства групп.
.Доказательство. Следует из 6 свойства групп.
.Доказательство. Докажем, что
. .Доказательство. Докажем, что
рассмотрим сумму . Аналогично доказывается, что . . Обозначение: . (правый дистрибутивный закон), (левый дистрибутивный закон).Доказательство. Правый дистрибутивный закон: левая часть равна
равна правой части. Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон. .Доказательство. Вычислим сумму
.п.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Дано два кольца
и .Определение. Гомоморфизмом кольца
в кольце называется функция и обладающая свойствами:Другими словами, гомоморфизм колец – это отображения, сохраняющие все операции кольца. Если
- гомоморфизм кольца в , то - гомоморфизм абелевых групп в группу .Теорема. Пусть
и - кольца и , обладающих свойствами: