Смекни!
smekni.com

Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел (стр. 3 из 4)

Тогда

- гомоморфизм колец.

Доказательство. Из свойства

является гомоморфизмом групп
и
, поэтому
обладает свойствами:
,
, значит по определению
- гомоморфизм колец.

Определение. Отображение

называется изоморфизмом кольца
на
, если
обладает свойствами:

- гомоморфизм колец.

- биекция.

Другими словами: изоморфизм – это гомоморфизм, являющийся биекцией.

п.5. Подкольца.

Пусть

- кольцо,
,
.

Определение. Множество

- замкнуто относительно операции
, если
.

Множество

- замкнуто относительно операции
, если
. Множество
- замкнуто относительно операции
, если
.

Теорема. Пусть

- кольцо,
,
, если
- замкнуто относительно операции
, то
- кольцо, которое называется подкольцом, кольца
.

Доказательство.

- бинарные операции,
- унарная операция, так как
- замкнутое множество. Так как
, то существует
, так как
- замкнуто относительно операции
, то
, значит
- алгебра, так как аксиомы выполнены на
, то они выполнены и на
, потому алгебра
- кольцо.

Теорема. Пусть

- числовое кольцо с единицей 1, тогда оно содержит подкольцо целых чисел.

п.6. Аксиоматическое определение кольца целых чисел.

Алгебраическая система

, где
бинарные операции,
- унарная операция,
,
,
называется системой целых чисел, если выполнены три группы аксиом:

I.

- кольцо.

Абелева группа

Аддитивная группа

II. Множество

- замкнуто относительно операций
и алгебраическая система
является системой натуральных чисел (системой Пеано).

Для

,

Для

,

Для

,

Для

,

Для

,

Для

,

Аксиома индукции: пусть

. Если множество
удовлетворяет условиям:

а)

б)

,
, то