Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел (стр. 4 из 4)
III. Аксиома минимальности.
Если
и обладает свойствами:а)
б)
, то 
. Теорема 1. О делении с остатком.
| 
, где 
. Число 
называется делимым, 
- делителем, 
- частным, 
- остатком при делении на .Доказательство. Докажем существование хотя бы одной пары чисел
, . Для этого рассмотрим множество 
. Множество 
содержит как отрицательные, так и неотрицательные числа, пусть - наименьшее неотрицательное число в , тогда 
. Докажем, что 
, предположим противное 
. Рассмотрим число 
. 
противоречие с выбором . Доказано, что 
, . Докажем единственность чисел и , пусть . 
, 
. Докажем, что 
, предположим противное 
. Пусть 
. Имеем 
противоречие, так как между числами 
нет чисел, делящихся на . Доказано, что , если , то 
, а отсюда следует, что 
. Доказана единственность чисел и .Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001