Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел (стр. 1 из 4)
Для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел.
п.1. Понятие кольца.
Определение. Алгебра
, где 
- бинарные операции, 
- унарная операция, 
называется кольцом, если выполнены аксиомы.I.
- абелева группа.1)
2)
3)
4)
II. 1)
- ассоциативность умножения.2) законы дистрибутивности:
- левый дистрибутивный закон, 
- правый дистрибутивный закон. - называется аддитивной группой кольца.Определение. Кольцо
называется кольцом с единицей 
, если существует 
Определение. Кольцо
называется коммутативным, если 
Определение. Элементы
называются делителями 
, если 
Определение. Кольцо
называется областью целостности, если оно обладает свойствами:Кольцо
- коммутативно.Кольцо
с единицей , где 
.Кольцо не имеет делителей нуля.
Рассмотрим
. Операции - бинарная операция на множестве 
, операция - унарная операция на множестве , 
, значит - алгебра. Аксиомы кольца на множестве выполнены, это следует из свойств целых чисел, значит - кольцо. Это кольцо с единицей 1, так как 
и 
. Это коммутативное кольцо, так как 
. Это кольцо без делителей нуля. Кольцо целых чисел является областью целостности.Пусть
- множество целых чётных чисел, 
- алгебра, кольцо без единицы, коммутативное, без делителей нуля, не является областью целостности. 
- проверим, будет ли на множестве 
- кольцо. 
- бинарная операция на множестве 
. 
- бинарная операция на множестве . 
- унарная операция на множестве . 
Значит
- алгебра.Аксиомы кольца для данной алгебры выполнены, так как
, а на 
аксиомы выполнены (из свойств действительных чисел), значит - это кольцо. 
. 
. Кольцо с единицей 
- это коммутативное кольцо без делителей нуля, является областью целостности.Пусть
. Определим операции 
, 
; 
, . 
- бинарные операции на множестве 
значит 
- унарная операция на множестве . 
, 
, значит 
- алгебра. Проверим, является ли эта алгебра кольцом. Для этого проверим аксиомы кольца. Равенство 
- равенство функции: 
из определения операций. Рассмотрим произведение , вычислим значения левой и правой частей от 
а) 
б) 
. Аналогично проверяется, что все аксиомы кольца выполнены, значит является кольцом. Это кольцо с единицей 
. Действительно, 
(свойство единицы). Это коммутативное кольцо, так как 
. Покажем, что это кольцо с делителями нуля. Пусть 
, 
, 
, 
(нулевая функция). Вычислим 
(равно нулевой функции). Значит 
, 
- делители нуля, значит кольцо 
- не является областью целостности.