Методические аспекты построения и анализа электродинамических уравнений Максвелла (стр. 2 из 3)

И это только то, что лежит на поверхности. А если взглянуть глубже, то уравнения

и содержат сведения о полях электрического и магнитного векторных потенциалов, связанных с электрической - и магнитной - поляризациями. На сегодня установлено [3, 4], что векторные потенциалы – полноправные физически значимые поля, и учет этого обстоятельства позволяет углубить и кардинально модернизировать концептуальные основы классической электродинамики, где обсуждаемая здесь система уравнений Максвелла будет лишь рядовым частным следствием.

Однако вернемся к уравнениям системы (1). Убедимся, что данная система замкнута и может быть представлена в виде математической задачи Коши - решение уравнений с заданными начальными условиями. Для этого, прежде всего, надо показать, что уравнение (1d) является следствием уравнения (1а), а уравнение (1b) есть следствие уравнения (1c). Вообще говоря, все это уже установлено в наших рассуждениях при построении уравнений системы (1), и все же проделаем обратное в явном виде. Итак, возьмем дивергенцию от (1а):

.

Поскольку уравнение (1d)

удовлетворяется при любых , то оно верно и для . Таким образом, уравнение (1d) действительно является начальным условием для уравнения (1а). Аналогичная процедура с уравнением (1c) и сравнение этого результата с уравнением непрерывности (3) дает цепочку:

.

А так как уравнение (1b)

справедливо при любых , то оно верно и для . Следовательно, уравнение (1b) - это начальное условие для уравнения (1c).

В итоге с учетом уравнения непрерывности (3) система (1) действительно замкнута – 16 скалярных уравнений: (1a), (1c), (3) - 7 и материальные соотношения - 9 для нахождения 16 скалярных функций: компонент векторов

, , , , и плотности заряда .

Важнейшим фундаментальным следствием уравнений Максвелла является тот факт, что

и компоненты электромагнитного поля распространяются в пространстве в виде волн. Например, из (1а) и (1c) сравнительно просто получить волновое уравнение для поля электрической напряженности :

. (4)

Аналогично получается и уравнение волн поля магнитной напряженности

, структурно полностью тождественное уравнению (4). Видно, что скорость распространения этих волн определяется только лишь электрическими и магнитными параметрами пространства материальной среды: , и , в частности, в отсутствие поглощения ( ) скорость волн .

С целью ответа на вопрос, что переносят эти волны, воспользуемся уравнениями Максвелла (1), являющиеся, в сущности, первичными уравнениями электромагнитной волны, откуда на основе уравнений (1а) и (1с) получаем закон сохранения энергии в форме, так называемой теоремы Пойнтинга:

. (5)

Видно, что поступающий извне в данную точку среды поток электромагнитной энергии, определяемый вектором Пойнтинга

, идет на компенсацию джоулевых (тепловых) потерь в процессе электропроводности и изменение электрической и магнитной энергий, либо наоборот - эти физические процессы вызывают излучение наружу потока электромагнитной энергии. Например, уравнение энергетического баланса (5) показывает, что излучение вовне потока энергии возникает при джоулевых потерях за счет работы источника ЭДС, в котором и - антипараллельны. Соответственно, при производные от слагаемых других энергий меньше нуля.

Существенно, что вектор плотности потока электромагнитной энергии

, отличен от нуля только там, где одновременно присутствуют электрическая и магнитная компоненты поля, векторы и которых неколлинеарны. Соответственно, как видно из уравнений (1а) и (1с), переносящая энергию электромагнитная волна принципиально состоит из двух векторных взаимно ортогональных и компонент. При этом несложно убедиться [1], что уравнения Максвелла (1) описывают электромагнитную волну, колебания и компонент которой синфазны между собой. Но такие колебания этих двух компонент в принципе не отвечают механизму переноса энергии посредством волн произвольной физической природы, когда в данной точке пространства происходит взаимное преобразование во времени потенциальной (в нашем случае электрической) энергии в кинетическую (магнитную) энергию, и наоборот.

Упрощенно, ради наглядности этот процесс можно пояснить на примере колебаний физического маятника, когда такой вид движения реализуется при сдвиге фазы колебаний смещения и скорости маятника на

, то есть благодаря обмену кинетической и потенциальной энергиями, где полная энергия незатухающих колебаний неизменна во времени. Следовательно, и в случае волны перенос энергии возможен только при сдвиге фазы колебаний между ее компонентами на , причем в среде без потерь поток энергии не зависит от времени и точек пространства. Однако, согласно уравнениям Максвелла, электромагнитных волн с такими характеристиками в Природе не существуют.

Правда, традиционная логика обсуждения переноса электромагнитной энергии такова, что проблемы здесь как бы и нет - всем все понятно. Действительно, из решения уравнений (1) для волновых амплитуд

формально, но абсолютно строго следует - закон сохранения энергии. В итоге однозначно доказано, что электрическая энергия в точности равна энергии магнитной, переносимых волнами соответствующих компонент электромагнитного поля. Именно так этот вопрос излагается учащимся, причем правомерность такой методики аргументируется тем, что перенос энергии электромагнитными волнами реален, и это физическое явление широко и всесторонне используется во многих областях жизни современного общества. Однако это не ответ на вопрос: как же все-таки эти энергии переносятся?