Поле комплексных чисел (стр. 2 из 6)
.Другими словами: комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда у него действительная и мнимая части равны нулю.
Доказательство.
.2) Для
.Другими словами: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них, соответственно, равны действительная и мнимая части.
Доказательство.
.3) Для
.Другими словами: чтобы сложить два комплексных числа, нужно, соответственно, сложить их действительные и мнимые части.
Доказательство.
.4) Для
.Доказательство.
.5) Для
.Доказательство.
.6) Для
, если 
, то 
.Доказательство.
. Определение. Пусть комплексное число
записано в алгебраической форме 
. Числом сопряжённым с называется число 
. Для
, где , 
, 
.1).
Доказательство.
.
2) .
Доказательство. .
3) .
Доказательство.
.
.
4) Если a¹ 0, то
.Доказательство.
.5)
.Доказательство.
.6)
.Доказательство.
.С помощью операции сопряжения удобно производить деление комплексных чисел. Чтобы записать в алгебраической форме дробь с комплексными числителем и знаменателем нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое со знаменателем, и вычислить произведения в числителе и знаменателе.
п.4. Модуль комплексного числа.
Пусть
записано в алгебраической форме 
.Определение. Модулем комплексного числа
называется неотрицательное действительное число 
. Для
, где , 
, 
.1)
.Доказательство.
.2)
.3)
.Доказательство. Свойство следует из свойства 6 операции сопряжения.
4)
.Доказательство.
.Отсюда следует нужное утверждение.
5) Если
, то 
.Доказательство.
.6) Неравенство треугольника:
.Доказательство. Докажем сначала неравенство
.Имеем
(2)
,так как
.Из (2) следует, что
.Из последнего неравенства следует неравенство (1).
Докажем теперь неравенство треугольника. Неравенство треугольника, очевидно, выполнено для
. Докажем неравенство треугольника для 
. Имеем 
.7)
.Доказательство.
. Отсюда следует нужное неравенство.8)
.Доказательство. Справедливы неравенства
, 
.Одно из подчёркнутых чисел совпадает с
.п.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Пусть
записано в алгебраической форме . Поставим в соответствие числу точку плоскости с координатами 
. Это соответствие является биекцией множества комплексных чисел на множество точек плоскости. Проиллюстрируем это соответствие Рис.1. В дальнейшем мы будем считать, что точками плоскости являются комплексные числа и будем называть эту плоскость комплексной плоскостью.Числа
и 
расположены симметрично относительно оси абсцисс. Действительные числа расположены на оси абсцисс, поэтому ось абсцисс - ось действительных чисел. На оси ординат расположены числа, у которых действительная часть равна нулю. Иногда ось ординат называют осью мнимых чисел. Из Рис.1 видно, что расстояние от начала координат до числа
равно 
. Поэтому геометрический смысл 
- расстояние от до начала координат.