Поле комплексных чисел (стр. 4 из 6)
Пусть
записано в алгебраической форме 
. Тогда из геометрической интерпретации следует, что: 
; 
, если 
; 
, если 
; 
, если 
.Заметим, что
выражается только в радианах, 
не определён.Теорема 4. Каждое комплексное число
может быть записано в виде 
.Доказательство. Изобразим
вектором комплексной плоскости,см. Рис.6.
y
b a
Рис.6.
0 a x
Угол, образованный вектором
и положительным направлением оси абсцисс, равен , следовательно, 
. Поэтому 
.Определение. Если комплексное число
записано в виде 
, то говорят, что записано в тригонометрической форме.Правила действий с комплексными числами,записанными в тригонометрической форме.
Пусть комплексные числа
записаны в тригонометрической форме 
.1)
,то есть при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство.
.2) Если
, то 
,то есть при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Доказательство. Обозначим
. Так как 
, то нужное утверждение доказано.3) Если
, то 
.4) Формула Муавра. Для
, 
.Доказательство. Формула Муавра является следствием правила 1.
5) Обобщённая формула Муавра. Для
, .Доказательство. Обобщённая формула Муавра является следствием формулы Муавра и свойства 3).
п.7. Показательная форма записи комплексного числа.
Обозначение. Для
обозначим 
. (1)Равенство (1) называют формулой Эйлера. При этом обозначении, запись комплексного числа
в показательной форме принимает вид 
. (2)Из равенства (1) и правил действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, следует справедливость следующей теоремы .
Теорема 5. Для
справедливы равенства:1)
;2)
;3)
;4)
;5)
;6)
;7)
п.8. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
Из формул Эйлера следует, что для
.Складывая и вычитая эти равенства находим, что для
:(1)
;(2)
.Как известно, из курса математического анализа, гиперболические косинус, синус, тангенс, котангенс, соответственно,
, для , определяются равенствами: 
; 
; 
; 
.Если в формулах (1), (2), заменить
на 
, то мы получим формулы для определения значений 
. Эти формулы выражают гиперболические формулы через тригонометрические. Для : 
; 
; 
; 
.п.9. Корни из комплексных чисел.
Определение. Пусть
, 
. Комплексное число 
называется корнем степени 
из 
, если 
.