Поле комплексных чисел (стр. 5 из 6)
Теорема 6. Пусть
, 
- множество всех корней степени 
из 1. Тогда алгебра 
- группа, (которая называется группой корней степени из 1).Доказательство. Пусть
.Проверим, что умножение – бинарная операция. Имеем
- корень степени 
из 1.Проверим, что
- унарная операция. Имеем 
- корень степени из 1.Очевидно, что 1 – корень степени
из 1.Доказано, что
- алгебра.То, что алгебра
- группа, следует из свойств комплексных чисел.Теорема 7. Для
существует точно различных корней 
степени из 1, 
, 
. (1)Все корни расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0).
Доказательство. Проверим сначала, что числа
, заданные равенством (1), являются корнями степени из 1. Действительно, 
.Докажем, что любой корень
степени из 1 может быть вычислен по формуле (1). Т.к. 
, то можно записать в показательой форме 
.Имеем
. Поэтому 
, 
, 
, где 
. По теореме о делении с остатком, существуют такие 
, что 
, где 
.Значит,
, 
, т.е. вычисляется по формуле (1).Изобразив числа, заданные формулой (1), на комплексной плоскости, мы увидим, что они расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0). В частности, числа, заданные формулой (1), попарно различны.
Теорема 8. Пусть
, 
, 
, 
. Тогда существует точно различных корней 
степени из 
, 
, . (2)Доказательство. Проверим сначала, что числа
, заданные равенством (2), являются корнями степени из . Действительно, 
.Пусть
- корень степени из . Докажем, что он вычисляется по формуле (2). Рассмотрим число 
, где 
определено формулой (2). Имеем 
Следовательно
- корень степени из 1, т.е. совпадает с одним из чисел . Имеем 
Из вышедоказанного следует, что числа
попарно различны. Теорема 1. (о мультисекции многочлена) Пусть
- многочлен с числовыми коэффициентами, 
. Тогда 
, (1)где
.Доказательство. Для
равенство (1) очевидно выполнено. Докажем (1) для 
. Имеем 
(2)Если - целое, то
и 
.Если - не целое, то
и по формуле суммы членов геометрической прогрессии 
.Поэтому в (2) суммирование нужно вести только по тем
, для которых 
. Отсюда следует (1).Заметим, что равенство (1) справедливо не только для многочленов, но и для рядов.
Следствие 1. Пусть
. Тогда. (3)
Доказательство. Рассмотрим многочлен
.
Применяя мультисекцию к многочлену , получим, что
,
где . Полагая
в последнем равенстве получим, что 
. (4)Имеем
