Поле комплексных чисел (стр. 1 из 6)

Вопросы поля комплексных чисел, описывается построение поля комплексных чисел, приводятся алгебраическая форма записи комплексных чисел, определение комплексного числа, действия над комплексными числами.

п.1. Построение поля комплексных чисел.

Рассмотрим множество

. Определим на бинарные операции сложения , умножения , унарную операцию и определим элементы .

Для

:

;

;

.

Обозначим:

.

Теорема 1. Алгебра

является полем.

Доказательство. Проверим, что алгебра

есть абелева группа.

Для

.

Для

.

Для

.

Для

(

.

Проверим, что операция

- ассоциативна, то есть

.

Действительно,

.

Проверим левый закон дистрибутивности, то есть для

.

Действительно,

,

.

Аналогично проверяется справедливость правого закона дистрибутивности.

Из выше доказанного следует, что алгебра

есть кольцо.

Проверим, что кольцо

коммутативно, то есть для .

Действительно,

.

Проверим, что

- кольцо с единицей 1, то есть

.

Действительно,

.

Так как

, то .

Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца

обратим. Пусть , что равносильно . Рассмотрим пару и проверим, что эта пара является обратной к паре . Действительно,

.

Из выше доказанного следует, что алгебра

- поле.

Определение. Поле

называется полем комплексных чисел, а его элементы - комплексными числами.

п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Обозначение. Множество комплексных чисел принято обозначать

, то есть . Приняты также следующие обозначения:

для .

Теорема 2. Каждое комплексное число

может быть, и притом единственным образом, записано в виде:

, где . (Такая запись называется алгебраической формой записи комплексного числа ).

Доказательство. Существуют

такие, что . Имеем

.

Теорема 3. Число

обладает свойством: .

Доказательство.

.

Из равенства

следует, что .

Определение. Пусть

, где . Число называется действительной частью, - мнимой частью комплексного числа . Пишем .

Пусть

- алгебраическая форма записи комплексного числа . Тогда:

если

, то ;

если

, то .

Определение. Если

, то комплексное число называют чисто мнимым числом.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1) Для